АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ

А. А. ЗИНОВЬЕВ

КОМПЛЕКСНАЯ

ЛОГИКА

8

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

МОСКВА 1970

В книге дается систематическое изложение формального аппарата разработанной автором комплексной логики. В ней рассматривается общая теория дедукции и ее расширения, включая теорию предикации, кванторов, условных форм, модальностей, существования, норм, терминов, отношений и физического следования. Автор приводит доказательства непротиворечивости и полноты систем комплексной логики относительно определенных семантических, интерпретаций, выясняет место классической и интуиционистской логик в теории логического следования.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР

N. В. ТАВАНЕЦ

1-5-7 № 86-70(1)

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Цель книги

В данной книге дается систематическое изложение теории логического следования (вывода, дедукции), которая разрабатывалась автором в работах [3—8] и названа комплексной логикой. Сравнительно с упомянутыми работами здесь внесены значительные изменения и дополнения. Кроме того, здесь использованы работы других советских логиков [1, 2, 9—16], посвященные проблемам комплексной логики. Автор рассматривает излагаемую теорию не как окончательную по виду отдельных ее разделов и по широте охвата проблем логики, но лишь как первоначальный вариант, который может быть усовершенствован и развит детальнее.

§ 2. Предмет логики

Логика изучает термины и высказывания, конкретнее говоря — правила, по которым из данных терминов и высказываний образуются новые термины ^высказывания и которые позволяют судить о значениях одних терминов и высказываний на основе сведений, которые имеются относительно значений других. Подробнее это рассмотрено в [3, 4].

Термины и высказывания образуются из данных терминов и высказываний так, что при этом последние определенным образом группируются в пространстве и времени, модифицируются и соединяются с особого рода предметами, изобретенными специально для этой цели. Эти предметы мы будем называть логическими операторами. Логика, определяя свойства различного рода конструкций из терминов и высказываний, определяет тем самым и свойства логических операторов, поскольку они являются в известном смысле показателями (или представителями) типов структур терминов и высказываний. И в этом смысле логика есть наука о логических операторах.

§ 3. Логические операторы

Роль логических операторов в языке выполняют слова «и», «или», «не», «нет», «но», «все», «некоторые» и т. п., а также запятые, точки и другие средства языка. В логике для изображения логических операторов изобретаются особого рода символы не только для удобства записи и обозримости утверждений логики, но прежде всего потому, что одни и те же языковые средства выполняют различные функции, а в качестве одних и тех же логических операторов используются различные языковые средства.

Логические операторы разделяются на две группы:

1) терминообразующие операторы (например, слово «который» в выражении «число, которое делится на семь»);

2) высказываниеобразующие операторы (например, слово «не» в предложении «Число тринадцать не делится на семь»).

Имеются логические операторы, которые относятся только к первой группе (например, оператор «который»), которые относятся ко второй группе (например, операторы «все» и «некоторые») и которые могут относиться к первой и второй группе (таковы, например, операторы «и», ,«или», «не»). Какими являются операторы в третьем, случае, всецело зависит от их положения в терминах и высказываниях.

Мы в дальнейшем будем рассматривать следующие логические опер аторы:

1)   , Я, V,     —I, ? — высказываниеобразующие

операторы соответственно «имеют признак» («характеризуется тем, что» и т. п.), «некоторые», «все», «если то», отрицание «не» и оператор неопределенности, употребляемые (последние два) только совместно с предшествующими четырьмя операторами;

2) |, [ ] — терминообразующие операторы «который», и «термин (или высказывание)...»;

3) •,\/, ~ — логические операторы «и», («каждый из»), «или» сильное («одно и только одно из»), «или» ослабленное («по крайней мере одно из») и «не», которые могут играть роль как терминообразующих, так и высказывание-образующих операторов.

Будем употреблять также круглые скобки, запятые и точки, но не в качестве логических операторов, а в качестве подсобных средств языка, регулирующих однозначность чтения сложных символов, определяющих их границы и строение.

§ 4. Термины

Термины разделяются на субъекты и предикаты. Мы предполагаем, что даны какие-то предметы, относительно которых известно, что они суть простые субъекты и простые предикаты. Правила образования субъектов и предикатов из простых субъектов и предикатов и высказываний задаются определениями такого вида.

. D1 Предикат:

1) простые предикаты суть предикаты;

2) если а есть предикат, то — and суть предикаты;

3) если а¹,..., ап (п> 2) суть предикаты, то (а¹-...-ап) и (аЛ/...\/ап) суть предикаты;

4) если ах,...,ап (п> 2) суть предикаты, то• (а¹,...,ап) и \/ (ах,Л.,ап) суть предикаты;

5) если х есть высказывание, то х | есть предикат;

6) если х есть высказывание, а а есть предикат, то а\х есть предикат;

7) нечто есть предикат лишь в силу пунктов 1—6.

D2 Субъект:

1) простые субъекты суть субъекты;

2) если а есть субъект, то ~ а и а суть субъекты;

3) если ах,...,ап (п 2) суть субъекты, то (ах-... - a") и (а¹ V ... V ап) суть субъекты;

4) если ах,...,ап (а > 2) суть субъекты, то- (ах,...,ап) и V (ах,...,ап) суть субъекты;

5) если а¹,...,а” (п 2) суть субъекты, то (ах,...,ап) есть субъект;

6) если х есть высказывание, то [ х есть субъект.

7) если х есть высказывание, а а есть субъект, то a J х есть субъект;

8) если а есть высказывание, субъект или предикат, то [а] есть субъект;

9) нечто есть субъект лишь в силу пунктов 1—8.

D3. Субъекты и предикаты (и только они) суть термины.

Термины, указанные в D1 и D2, читаются так:

1) ~ а — предмет, не обозначаемый термином а.

2) (а¹-...-#⁷¹) — предмет, обозначаемый каждым из терминов а¹, ..., ап;

3) (а¹ V ... V аП) — предмет, обозначаемый по крайней мере одним из терминов а¹, ...,ап;

4) - (а¹, ..., ап) — каждый из предметов а¹, ..., ап;

5) \/ (а¹, ..., ап) — по крайней мере один из предметов а¹, ..., ап;

6) а — предмет не-а (противоположный а);

7) \ х — тот факт, что х\

8) х | —• такой, что х;

9) а | х — а такой, что х\

10) [а\ — термин а.

§ 5. Высказывания

Субъект, указанный в пункте 5 определения Д2 предшествующего параграфа, называется одноместным при п ----— 1, двуместным при п = 2 и т. д., вообще — энместным в зависимости от п.

Предикаты в свою очередь разделяются на одноместные, двуместные и т. д. (вообще на энместные, где п > 1). Мы предполагаем, что это разделение дано каким-то образом, т. е. предполагаем известным, каким является тот или иной предикат с этой точки зрения.

Если даны термины и выполнено только что приведенное допущение, то правила образования высказываний из терминов и высказываний задаются определениями такого вида.

Di. (а Ь), (а “"*] Ъ) и (а? <— Ъ) суть основные высказывания, если и только если а есть субъект, а Ь —• предикат, причем, если а есть энместный субъект, то Ь есть столь же местный (энместный) предикат.          >

Высказывания, указанные в Z>1, читаются так:

1) (а Ь) — «а имеет признак Ь»; «а имеет Ь»; «а характеризуется тем, что Ь»; «Ь присущ а» и т. п.;

2)  (а | Ъ) — «а не имеет Ь»;

3) (а? Ь) — «а неопределенно имеет Ь (нельзя установить (а <— Ъ) или (а b); не известно, (а Ь) или

D2. Высказывание:

1) основные высказывания суть высказывания;

2) если 2 есть высказывание, то ~ х есть высказывание;

3) если ж¹, ..., хп (п > 2) суть высказывания, то (х¹-... -хп), (ж¹: ... :хп) и (х*\/ ...\/ хп) суть высказывания;

4) если а есть термин, а х есть высказывание, то (Va) х, (Ла) 2, (~"| Va) а;, (”] Ла)я; (?Va) х и (? Ла) х суть высказывания;

5) если хи у суть высказывания, то (х   у), (я "”] ->у

и (ж? —> у) суть высказывания;

6) нечто есть высказывание лишь в силу 1—5.

D3. Высказываниеобразующий оператор будем называть главным в данном высказывании в таких случаях:

1)    есть главный оператор в (а Ь), (а ~“| <— Ъ) и (а? <- Ь);

2) • есть главный оператор в (ж¹-... -яп), \/—главный в (^V-.A/ ^n)j: — главный в (ж¹:... :яп);

3) V есть главный оператор в (Va) х, (““| Nd)x и (? Vs) х;

3 — главный в (За) ж, (^3s) х и (? За) ж;

4) ->есть главный оператор в (я->у), (х~] ->у) и (ж? -»у);

5) оператор, являющийся главным в я, является главным и в ~ х.

Высказывания, указанные в D2, читаются так:

1) ~ х — «He-я», «Не так, как говорится в я»;

2) (xi-..,-xn) — «я¹ и х² и...и хп», «Каждое из х¹, ..., ..., яп)>;

3) (л:¹:...: хп) — «Либо я¹, ..., либо яп», «Одно и только одно из ж¹, ..., яп»;

4) (х¹\/ ... V^n) — «я¹ или... или #п»,«По крайней мере одно из х¹, ..., #п»;

5) (Vs) х, (3s)    ("I Vs) л:, (■“] 3а) х, (? Va) х₁ (? За)х

— соответственно «Все а таковы, что х», («Для всех а имеет силу х» и т. п.), «Некоторые s таковы, что я»г«Не все а таковы, что х», «Нет таких s, что х», «Неопределенно (нельзя установить, не известно и т. п.), (Vs) х или (^ Vs) х »> «Неопределенно, (3s) х или (“| 3s) х»;

6) (х ->у), (х~^\ -»у), (я? -> у) — соответственно «Если х, то у» («Признание х обязывает признать у»), «Признание х не обязывает признать у», «Неопределенно, (х-+у) или (z“”| -> у)».

§ 6. Расширения алфавита

и правил образования

Приведенный алфавит логических операторов и перечень правил образования терминов и высказываний не исчерпывают сферу логики. В частности, помимо кванторов «все» и «некоторые» употребляются операторы «один», «два», «большинство», «меньшинство», «третья часть» и т. п. (см. [3]); помимо обычной конъюнкции «и» употребляются упорядоченные «и затем», «и до этого», «и справа от этого» и т. п. Мы привели лишь операторы и правила образования терминов и высказываний, рассмотрение которых образует ядро логики, а также основу и образец для рассмотрения других операторов и правил. И в дальнейшем по мере изложения мы будем осуществлять некоторые расширения такого рода, каждый раз поясняя их место и отношение к фундаментальным логическим объектам.

§ 7. Вхождение

D1. Одно высказывание входит в другое (есть вхождение в другое), если и только если первое есть графическая часть второго. Аналогично — для вхождения термина в высказывание, высказывания в термин, термина в термин и логического, оператора в термин и высказывание. Высказывание входит само в себя. Термин входит сам в себя.

Согласно O1 не всякая графическая часть высказывания есть вхождение в него другого высказывания, если даже в нее и входят высказывания. Например, х : у графически есть часть высказывания (х : у : z), однако в последнее не входит высказывание (х : у), ибо по определению высказывания выражение х : у не есть высказывание (отсутствуют внешние скобки). Аналогично в высказывание (x‘y-z) не входит высказывание (х-у), хотя в него входит каждое из х и у. Аналогичное положение имеет силу для соотношений терминов и высказываний, а также терминов и терминов, являющихся их частями. Короче говоря, не всякая часть термина или высказывания есть вхождение в него термина или высказывания.

§ 8. Логическое следование

' Будем употреблять символ как знак логического следования (в смысле «из... логически следует...»). Выражение вида х [— у будет читаться буквально так: из высказывания х логически следует высказывание у. Слово «логическое» («логически») в выражении «логическое следование» («логически следует») будем для краткости опускать и говорить просто «следование» («следует»).

D1. х\—у есть утверждение (или формула) следования, если и только если хи у суть высказывания.

D2. Высказывание х в х [— у называется посылкой для у, высказывание у — заключением (или следствием) высказывания х.

Утверждение х |— у не есть высказывание, состоящее из высказываний хи у. Это — высказывание, состоящее из двух терминов «высказывание х» и «высказывание у», обозначающих высказывания соответственно х и у, и двухместного предиката «из первого следует второе». Если записать его в соответствии с определениями, данными в параграфах 4 и 5, то оно примет такой вид: ([ж], [у] <— (|— )). Так что оно является простым высказыванием.

D3. Вхождение высказывания в формулу следования;

1) высказывание х входит в формулы следования х\— у и у Н х;

2) если высказывание х входит в высказывание у, а у входит в формулу следования z\— v, то х входит В Z |— V,

3) высказывание входит в формулу следования только в силу 1 и 2.

jD4. Вхождение термина в формулу следования: термин а входит в х |— у, если и только если он входит в х или (не исключающее «или») в у.

Символ |— будем употреблять также как знак того, что высказывания принимаются из чисто логических соображений. При этом выражение |— х можно рассматривать как следование х из пустого множества посылок (как вырожденное следование).

Db. \—х есть формула вырожденного следования, если и только если х есть высказывание.

D6. Высказывание х входит в [—я; если высказывание (или термин) у входит В X, то у входит в \—х.

Выражение |— х точно также не есть высказывание, состоящее из высказывания х и оператора j—. Символ   не

/ есть логический оператор. Это — особый предикат «принимается из логических соображений» («логически истинно» и т. п.). А выражение j— х есть элементарное высказывание ([я]) «— ((—))> состоящее из субъекта [х] и предиката |—.

Учитывая сказанное, мыв дальнейшем будем рассматривать только такие формулы следования, которые содержат один и только один символ |—. Выражение вида (a: Н u/Hz))> (*1— ») I—«»(ж Н у) (z Н v) Н (а Н ъ) и т. п., в которых символ |— встречается два и более раза, фигурировать у нас не будут. Такого рода выражения на самом деле лишь сокращенная запись высказываний соответственно (Ы, [([у], Ы) *- (Н. (ЦЫ, [у])*-(Н)1. Ы)*-(|—) и т. п. Логические правила для таких высказываний получаются как производные от правил, рассматриваемых в данной книге.

§ 9. Классический и неклассический случаи

Будем различать классический и неклассический случаи в теории следования по такому признаку: в системах для неклассического'случая будут фигурировать два различных оператора отрицания и оператор неопределенности, в системах же для классического случая операторы отрицания не различаются (остается одно отрицание), а оператор неопределенности отсутствует. Смысл различения двух видов отрицания и введения оператора неопределенности подробно разъяснен в работах [3, 4].

Такое употребление выражений «классический» и «неклассический» отличается от принятого в логике их употребления: неклассическими системами принято называть системы, которые уже классического исчисления предикатов по классу доказуемых формул. Однако упомянутое сужение класса доказуемых формул поддается разумному и простому (на наш взгляд) объяснению лишь при условии различения двух форм отрицания (или двух различных позиций отрицания) в высказываниях. В дальнейшем мы будем рассматривать системы, которые можно истолковать как сужение классической логики, но в которых фигурирует только один оператор отрицания и отсутствует оператор неопределенности, а также системы с дву^я отрицаниями и с оператором неопределенности, содержащие в себе (в известном смысле) системы классической логики. Потому принятое деление систем логики на классические и неклассические оказывается здесь неопределенным и даже противоречивым. И потому мы от него отказались.

§ 10. Технические замечания

При построении логических систем (исчислений) в дальнейшем будем употреблять выражения «аксиомная схема» и «теоремная схема» в смысле, несколько отличном от принятого в логике. Дело в том, что мы не будем вводить в алфавит наших систем переменные символы (пропозициональные переменные, индивидные переменные и т. п.). Мы будем использовать употребляемые ниже буквы х, у, z, я¹, х², ..., а, 6, с, ... и т. д. как переменные в следующем смысле: 1) каждая буква по отдельности будет обозначать . любое высказывание или любой термин (что именно, будет ясно из контекста), а также высказывание или термин задаваемого контекстом типа; 2) различие же совместно встречающихся (в одном утверждении, в одной формуле, в одном рассуждении) букв будет означать, что термины (или высказывания) могут как-то различаться (если в контексте не сказано, как именно они различаются). -

Такое использование букв соответствует употреблению переменных метасимволов. Введение переменных символов в алфавит логических систем не избавляет от необходимости введения переменных метасимволов, тогда как употребление последних делает первые практически излишними. В случае индуктивных доказательств мы можем любую букву использовать в качестве объекта для базисного шага, просто приписав ей необходимые для этого свойства (сказав, например, «Пусть а есть элементарный термин»)..

Кроме того, мы будем использовать употребляемые ни-,же буквы как обозначения именно высказываний и термин .нов, а не как лишенные значения символы, нуждающиеся .в интерпретации. Поэтому формулируемые нами логические системы по способу построения суть теории, описывающие свойства высказываний и терминов определенного’ .вида. Никаких дополнительных формальных трудностей из-за этого не возникает, зато с самого начала исключаются спекуляции на счет особенностей логических построений и их отношения к реальным языкам.

Так что в дальнейшем, принимая х\—у (или s—n) как экономную схему в некоторой логической системе, мы будем иметь в виду следующее: если хи у суть высказывания, то формула следования х |— у (или j— х) принимается в данной системе. Аналогично для терминов. В правилах вывода будет предполагаться, что употребляемые буквы суть высказывания (или термины).

Конечно, в данном случае можно было бы просто говорить об аксиомах (или постулатах) в том смысле, в каком говорят о них в научных теориях вообще. Но мы все же будем говорить о схемах аксиом, предполагая связь с логической традицией: наши системы легко превращаются в исчисления, отвечающие традиции (с точки зрения правил построения, а не содержания), путем незначительных модификаций. Так, если в излагаемой ниже общей теории дедукции вместо элементарных высказываний говорить о пропозициональных переменных, то получим обычные (по форме) исчисления с экономными схемами.

К теоремным схемам относится сказанное выше об экономных схемах. Доказать теоремную схему х |— у или |—2, значит доказать, что это утверждение верно для любых высказываний (терминов) с такой структурой, какая указана в я и у.

Определения будем нумеровать символами Di и Dikl9 экономные схемы — Al и Aikl, теоремные схемы — Ti и Tiki, где i есть номер определения, экономной или теорем-ной схемы в данном параграфе, к — номер главы, I — номер параграфа. При доказательстве теоремных схем в некоторых случаях будем под их формулировкой записывать шаги доказательства. Справа от теоремных схем в квадратных скобках будем писать, на основе каких теоремных схем и правил вывода получается соответствующая тео-ремная схема или сделан соответствующий шаг в ее доказательстве.

Утверждения о свойствах формул логической системы суть метаутверждения по отношению к теоремам этой системы. Будем их нумеровать символами вида MTi и MTikl, где i, к и I те же, что и выше.

ГЛАВА ПЕРВАЯ

СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ

§ 1. Система 8¹

Логические операторы:

1) . — конъюнкция («и», «каждое из»);

2) : -- сильная дизъюнкция («либо», «одно и только одно из»);

3) ~ — отрицание («не», «не так»).

D1. Высказывания, которые нельзя расчленить на другие высказывания и логические операторы •, : и суть элементарные относительно S¹ высказывания.

D2. Высказывание:

1) элементарные относительно S¹ высказывания суть высказывания; .

2) если х есть высказывание, то ~ х есть высказывание;

3) если х\ ..., хп (п > 2) суть высказывания, то (я¹-.., ...-хп) и (ж¹:... :хп) суть высказывания;

4) нечто есть высказывание лишь в силу 1—3.

Для упрощения записи будем скобки в ряде случаев опускать, полагая, что конъюнкция связывает сильнее дизъюнкции, а обе они — сильнее знака следования. Знаки конъюнкции будем опускать записывая соединяемые ими формулы рядом, без интервала.

Аксйомные схемы S'¹:

Al. х\— — — х А2. — — х\— х АЗ. ху \—х

44. ху\— ух

45. хгх²... хп |— у,

где у отличается от (я¹#²...хп) лишь какой-то расстановкой скобок, удовлетворяющей D2.

46. у\—х¹х² ... хп,

где у то же, что в Л5.

47.               \~x~y

48.        — у: — ж — г/|--(ху)

49. ~(я: г/) |— ху\~х~у

~ (я¹ : х²: . ..: хп) р у¹: г/²: .. . : ут,

где у⁴, у², ..., ут есть множество попарно различных высказываний, в которые включаются (я¹#² ... хп) и всевозможные высказывания, отличающиеся от него наличием одного и только одного оператора отрицания перед всеми я¹, х², ... хп или перед i из них, где 1 i п — 2.

410. ху\~х~у\-~(х:у)

i/¹: у²:...: г/¹⁷¹1— —     : a? :...: хп),

где I/¹, r/², ..., i/⁷⁷¹ те же, что и в 49.

411. х¹: х² :...: хп\—у,

где у отличается от (я¹ : я²: .... :хп) лишь какой-то расстановкой ' скобок, удовлетворяющей определению D2.

I

412. г/1— гг¹: д;²: . . . : гсп,

где каждое из х¹, х², ..., хп есть либо (au z¹ • ... • аimzm) (где а*¹, ..., аозначают наличие или отсутствие отрицания, а все (a^z¹ ... - aimzm) попарно различны), либо ~ 44А а у отличается от (я¹ : х²: ... :хп) лишь расстановкой скобок.

413. xy:yz\— (x\y)z

xxy : x2,у :... : xny (x¹: x²:.. . : xn) у

414. (ж : z/) z\— xz : у

(x¹: я²: . ..: 2") у |— x¹ у :x²1 ... :xn

(x¹ :x²:: xn) (y¹: .;. : ym) [—

[—x^¹:... :xLym : ж²:...: xn

Аксиомные схемы 46, 49, 410, 413 и 414 можно рассматривать как множества аксиомных схем. Но можно также последние строки в них рассматривать как запись общих случаев, а предшествующие им строки — как частные случаи, поясняющие общие случаи.

Правила вывода

R1. Если х J— у и у [—• z, то я z

R2. Если х |—' у та х |— z, то х\— yz

K3. Если х |— у та у |— х, то z |—•

где v получается из z путем замены вхождения высказывания х (не обязательно всех) в z высказыванием у.

D6. Формула следования х\— у доказуема в S¹ (есть теорема S*), если и только если она есть аксиома S1 или получается из доказуемых в S¹ формул следования по правилам вывода Si.

Система S¹ была сформулирована (в несколько ином виде) автором в работах [3, 5, 8]. Излагаемые ниже доказательства непарадоксальности, непротиворечивости, независимости и полноты S¹ даны Г. А. Смирновым в работе [12].

§ 2. Некоторые теоремные схемы

Приведем ряд теоремных схем, которые потребуются в дальнейшем (доказательство дано Г. А. Смирновым в [12]). В качестве сокращения для х |— у и у Н х будем употреблять символ я —]'\— у.

Tl. xy\—y

T2. x\- x T3. x\— xx T4. xx\—x T5. yx\-xy T6. x:y\-y:x

1. '—-(x:y)}—yx: — у — x

2. ~ (x: y) |--(y: x)

3- ~ (У : ж) H ~ (x: y)

4. — — (x: y) |--— (y: x)

5 ,x:y\-y.x

T7. y:x\-x:y

[44, 43, 7?1] [41, A2, 7?1] [T2, R2]

[43]

[44]

[49, 44, T5, ЯЗ] [1, 410, Я1] [2] [2, 3, A3] [41, 4, Al] [Т6].

T8. Доказательство правила коммутации для случая х¹: ... :хп (п > 2) опирается на 45, 46, 49—412, Тб, Т7.

Ниже ссылки на 41, 45, 46, Т2—Т8 в большинстве случаев опускаются как очевидные.

T9. (х:у) z |— xz:yz

1. (х: у) z\-~ (у : xz) z                  [414, Tl, A2]

2. (x:y)z\—xz\yz                   [1, 414, Al]

Т10. Для случая xl: ... : хп (п 2) доказательство аналогично доказательству T9.

Т11. х\-х:х~х:х~х [Т3, Т4, 41, 47, Al, A3] Т12. х:х — х:х — х\— х             [413, Tl, A1]

Т13. х\—х:х — х

1. —х\— ~(х:х— х:х — х) [TH, Т12, A3]

2. x: х — х'.х-^х —\\—х:(х — х: х — х)

[411, 412]

3. — ж |--(х:(х~х:х — х))      [1, 2Т R3, 7?1]

4. ~ж|— х(х~х: х — х): — х — (х^х:х — х)

[3, 49, A1]

5. ж— ж: ж— x—1|—~(ж:—ж)          [410]

6. — ж |— ж (ж— x: xx):   ж (ж: ~ ж)

[4, 5, ЯЗ, Я1]

7. ~ ж |— — ж: ж — ж: ж —- ж: ж ~ ж

[6, 413, 740, 412, ЯЗ, Я1]

8. ж|—(ж: ж— ж: ж— ж): ж— ж [7, 411, Я1]

9. ж|— ж: ж — ж.            [8, 741, 742, ЯЗ, Я1]

Т14. ж:ж — ж|— ж                     [413, Т1, Я1]

Т15. ж: у [—ж— у:~ху

1. ж: у [—■ — (жу:~ж~у)      [41, 49, ЯЗ, Я1]

2. ж: у |— ж — ху — у : ~ (ху) ~ (~ ж — у)

[1, 49, Я1]

3. (х:у)\—х~у:~ху

[2, 47, 413, Т1О, 411, 412, Т13, 744, ЯЗ, Я1] Т16. ж — у:—ху\—х:у

1. х~у: ~жу|--(ж~жу~у: ~(ж~у)~(жу))

[41, 49, Я1, ЯЗ]

2. ж~у:~жу|--(жу:~ж~у)

[1, 411, 412, 740, 48, 47, 743, Т14, R3, Я1]

3. ж — у: — ху\—х:у [2, 410, 41, R3, Я1]. '747. Для случая ж¹ : ж²: жп (п 2) доказательство аналогично Т15 и 746.)

748. ж|-ж(ж:—ж)                 [Т13, 413, Я1]

749. ж (ж: — ж)|— ж                            [43]

Т20. xz: у |—(Ж2: у) (ж: ~ ж)

1. xz’.y\— xz — y:~(xz)y           [Т17]

2. xz : у |— xz •— у : ~ жгу : ж — zy :— ж — гу

[1, 48, 413, 740, ЯЗ, 412, 43]

3. xz:y\—(xz — у : ~ xzy: ж—zy: -—ж —zy) (ж: ~ж)

[2, 748, Т19, ЯЗ, 413, 43].

4. xz : у |— х:—х b.xz\y\— (xz : у) (х:—х)

[3, Т2, R2}

[4, Т2, R2}

Т21. (xz : у) (х : ~ х) |— xz : у

[АЗ]

Т22. (х:у)х\--у

1. (х : у) х х : ху

[ПО]

2.(х:у)х\- (х: ху)(у:~у)

[1, 720, 2?1]

З.(х:у)х\--У-У-У      [2, 414, 413, АЗ, Д1]

4.{х:у)х\--у          [3,717,413,71,7?!]

Т23. (х: у)—х\—у

-

1. (х: у) ~ х х ~ у : ~ ху

[43, 717, Я1]

2.(x:i/)~x\- ~х:~у

[1, 717, Я1]

3. (х: у) ~ х[— (~ х: — у) ~ х

[2, 71, R2]

4. (ж: z/)' * х | у

[3, 722, Я1].

§ 3. Некоторые сокращающие определения

Di. (х zd у) есть сокращение для ху : ~ ху. ~ х ~ у.

Символ И) есть знак материальной импликации. Последняя не имеет никакого иного смысла, кроме указанного в Di.

D2. (х \/ у) есть сокращение для —    2:   r/); х¹ \/

Ух*\/... \/ хп есть сокращение для        ~ х² ...

Символ V есть знак соединительной дизъюнкции и читается как «по крайней мере одно из».

Операторы ±> и \/ могут быть приняты как первичные. Тогда для них потребуется дополнительные аксиомные схемы:

Л15. х=>у\— ху:— ху:—х~у

416. ху: — ху: — х — у\—х^>у

417. х¹ \/ х²\/ . .. \/ хп |--(~ хг — х²... — хпУ

Л18.                                            ²

§ 4. НепарадоксальноСть

В отношении S¹ имеет силу следующая метатеорема: МТ1. Если х |— у есть теорема S¹ (доказуема в S£), то в у не входят элементарные высказывания, которые не входят в х (или в у входят только такие элементарные высказывания, которые входят в х).

Доказательство МТ 1. Случай 1: х [—у есть аксиома S'¹. Легко убедиться путем пересмотра экономных схем S¹, что в у не входят элементарные высказывания, отсутствующие в -х. Случаи 2: х\— у получена из я |— z is. z\— у по правилу 7?1. Очевидно, что если в у не входят элементарные высказывания, отсутствующие в z, а в z не входят элементарные высказывания, отсутствующие в я, то в у не могут входить элементарные высказывания, отсутствующие в х. Случай 3: х |— у имеет вид х\— zv и получена из х |— z и х |— v по правилу R2. Очевидно, что в zv входят только такие элементарные высказывания, которые входят в z или (не исключающее «или» ) v. И если в z и в v не входят элементарные высказывания, отсутствующие в х\ то в у точно также не могут входить элементарные высказыва ния, отсутствующие в х. Случай 4: у в х у получено из х по правилу 7?3 путем замены вхождения z йх высказыванием v. Если z |— v и v |— z доказуемы, то множества элементарных высказываний, входящих в z и v, совпадают. Поэтому в у не могут оказаться элементарные высказывания, отсутствующие в х.

Из МТ1 вытекают следующие метатеоремы:

МТ2. Если х |— у и у |— х суть теоремы S¹, то множества элементарных высказываний, входящих в х и у, совпадают.

МТ3. Формулы следования вида        У) ~

I— r/, х Н ~ (~ УУ)> я Н У => Я, я|— ~ я =5 у; я Н У V V — у недоказуемы в S¹. Выражения вида х\— (у х) и. х (— (~х [— у) не являются формулами следования, доказуемыми в S¹.

Согласно МТ3 в S¹ исключаются следствия, подобные парадоксам материальной и сторогой импликации. Поэтому MTi мы называем теоремой непарадоксальности, а систему S¹ непарадоксальной в смысле MTi.

§ 5. Главная семантическая интерпретация

Примем следующую семантическую интерпретацию, которую будем считать главной (поскольку относительно ее будет в дальнейшем определяться полнота S'¹):

1) элементарцым высказываниям приписываются значения 1 и 0 (соответственно «истинно» и «неистинно»);

2) если х имеет значение 1, то ~ х имеет значение 0; если х имеет значение 0, то ~ х имеет значение 1;

3) (ж¹-... -хп) имеет значение 1 тогда и только тогда, когда все ж¹, ..., хп имеют значение 1;

4) (ж¹: ...:хп) имеет значение 1 тогда и только тогда, когда одно и только одно из ж¹, ..., хп имеет значение 1;

5) х |— у имеет значение 0 тогда и только тогда, когда х имеет значение 1, а у — значение 0.

D1. Формула следования есть тавтология, если и только если она принимает значение 1 при любых значениях входящих в нее элементарных высказываний.

D2. Высказывание есть тавтология, если и только если оно принимает значение 1 при любых комбинациях значений входящих в него элементарных высказываний.

D3. Высказывание есть противоречие, если и только если его отрицание есть тавтология.

МТ 1. Если х [— у — теорема S¹, то она является тавтологией.

Доказательство MTi. 1 случай: х \— у является аксиомой S¹. Легко проверить, что х\— у является тавтологией. Для аксиом, охватываемых схемами А1 — Л8, Л13 и Л14 это тривиально просто сделать. Ограничимся лишь рассмотрением аксиом, указанных в схемах Л9 — Л12.

Пусть в Л 9 высказывание у¹: ... :ут принимает значение 0. Это возможно лишь при условии, если все у*, .., ут принимают значение 0: если одно из них имеет значение 1, то все остальные имеют значение 0, и все высказывание имеет значение 1. А это означает, что одно и только одно из я¹, ..., хп имеет значение 1. Отсюда следует, что х¹: ... ...: хп имеет значение 1, а ~ (х*:...:хп) имеет значение 0. Таким образом, формулы следования, указанные в Л9, не могут принять значение 0.

Пусть в Л10 высказывание у¹: ... :ут принимает значение 1. Это значит, что одно из у¹, ..., ут принимает значение 1 (пусть это r/i), а остальные принимают значение 0. Если есть конъюнкция всех ж¹, ..., хп без отрицаний, то х¹ :...:хп имеет значение 0, а ~ (ж¹: ..:хп) — значение 1. Если в уг дващли более из ж¹, ..., хп имеют впереди отрицание, то возможны два случая. Первый случай — отрицание стоит перед всеми х¹, ..., хп, и тогда все х¹, ..., хп принимают значение 0, х¹: ... : хп принимает значение 0, ~ (х¹: ... :. хп) принимает значение 1. Второй случай — по крайней мере перед двумя ж¹, ..., хп отрицание отсутствует. Тогда эти два из х¹, ..., хп принимают значение 1, х¹: ...:хп принимает значение 0, ~ (я¹:... : хп) принимает значение 1,

Если в ЛИ высказывание х¹: ... : хп принимает значение 1, то одно и только одно из х¹, ..., хп принимает значение 1. И как бы мы ни расставили скобки, в полученной дизъюнкции так или иначе только один член будет иметь значение 1. Следовательно, у примет значение 1, и все аксиомы, соответствующие ЛИ, суть тавтологии.

Если в Л12 высказывание у имеет значение 1, то это означает, что одной только одно из х¹, ..., хп имеет значение 1: все высказывания вида — z\z\zl имеют значение 0, а все(аи         zm) попарно различны за счет распре

деления отрицаний у z*, ..., zm, так что если одно из них имеет значение 1, то все остальные имеют значение 0. Следовательно, х¹: ...: хп принимает значение 1, и аксиомы, соответствующие Л12, суть тавтологии.

2 случай: х у получена путем применения правила Ri из х [— z и z [— у. Утверждение х у принимает значение 0 только в том случае, когда х даеет значение 1. а у — значение 0. Если формулы х z и z |— у являютсяг тавтологиями, то во всех случаях, когда х имеет значение 1, z и у принимают значение 1. Тогда формула х у также является тавтологией.

3 случай: х |— у имеет вид х zv и получена из х [— z и х |— v путем применения правила R2. Если формулы х z и х v являются тавтологиями, то z и v принимают значение 1 во всех случаях, когда х имеет значение 1. Тогда формула х \— zv также является тавтологией.

4 случай: у в х у получено из х путем замены вхождения (покрайней мере одного) высказыванияzbxвысказыванием v. Если z |— v и v р- z являются тавтологиями, то z и v принимают одинаковые значения истинности при одной и той же комбинации значений истинности входящих в них элементарных высказываний. Тогда у будет принимать те же значения истинности, что и х, при одной и той же комбинации значений истинности входящих в них элементарных высказываний, так что и х\— у будет являться тавтологией.

Из MTi вытекают следствия:

МТ2. Если х уесть теорема S'¹ их имеет значение 1> то у имеет значение 1.

МТ3. Если х   у есть теорема S'¹ и у имеет значение 0,

то х имеет значение 0.

МТ4. Если х у и у \— х суть теоремы S'¹, то х и у равнозначны (т. е. принимают одно и то же значение при одной и той же комбинации значений входящих в них элементарных высказываний).

МТ5. Если х |— у есть теорема S'¹, то х zd у есть тавтология.

§ 6. Непротиворечивость 8¹

Система S¹ непротиворечива в смысле следующих ме-тате орем:

МТ 1. Если х у есть теорема S¹ и при этом х не есть противоречие, то ж|—• — r/ не есть теорема 5¹ (недоказуема в

Если я |——уу есть теорема S\ то я есть противоречие.

Доказательство MTi. Так как х |— у есть теорема S⁴, то на основании МТ 1 предшествующего параграфа она есть тавтология. При этом, поскольку — х не является тавтологией, высказывание х принимает значение 1 по крайней мере при одной комбинации значений входящих в него элементарных высказываний. Из интерпретации знака |— следует, что высказывание у при той же комбинации значений элементарных высказываний также принимает значение 1. Тогда высказывание ~ у при этой комбинации значений элементарных высказываний имеет значение 0. Поэтому при данной комбинации значений входящих в х элементарных высказываний формула следования х |— ~ у принимает значение 0. Следовательно, она не является тавтологией. Поэтому, в силу MTi предшествующего параграфа она не есть теорема Si.

Справедливость МТ2 видна из следующего: ~ уу есть противоречие, т. е. всегда имеет значение 0; согласно МТ3 предшествующего параграфа х всегда имеет значение 0, т. е. есть противоречие.

§ 7. Полнота 8¹

D1. Формула следования х |—- у есть сильная тавтология, если и только если х\—у есть тавтология в смысле Di пятого параграфа и при этом в r/ не входят элементарные высказывания, отсутствующие в х.

D2. Каноническая форма высказывания:

1) х: ~ х находится в канонической форме;

2) х¹\..лхп(п 1) находится в канонической форме, если выполнены следующие условия: а) я¹, хп суть высказывания вида (а¹¹ а*¹ ... • aim aim) (тп > 1), где аи, ..., а1тп означают наличие или отсутствие отрицания; Ь) все aikaik попарно различны и упорядочены так, что если в airair и аisais элементарное высказывание air предшествует в алфавитном порядке элементарному высказыванию ais, то г < s; если же в air air и ais а™ элементарные высказывания air и ais совпадают, air означает отсутствие, a ocls — наличие отрицания, то г < s; с) все х1 попарно различны;

3) высказывание находится в канонической форме только в силу пунктов 1 и 2.

D3. Высказывание у есть каноническая форма для высказывания х, если и только если у находится в канонической форме, и х[— у и у х суть теоремы S'¹.

Z>4. Формула следования х [— у находится в канонической форме, если и только если хи у находятся в канонической форме, множества элементарных высказываний, входящих в х и г/, совпадают, и в у входят все те высказывания вида ~ zz, которые входят в х.

' D5. Формула следования я* (— у** есть каноническая форма для х \— у, если и только если х* есть каноническая форма для х, имеющая вид х¹: ... : хп (п 1), a r/** есть каноническая форма для y*z (у : — v), где у* есть каноник ческая форма для г/, z есть высказывание вида zW ... zm т 0) (где zl есть высказывание вида ~ аа, входящее в х*, но не входящее в у*), a v есть конъюнкция элементарных высказываний, которые не входят в /, но входят в 2*, за исключением таких, которые входят в х¹ вместе с их отрицанием.

Т1. х — х: ху\—ху

1. х~х: ху\— у

2. х — х : ху\— х

3. х~х : ху\— ху

[А 13, 723 12, R1] [413, Т1 12, R1] [1, 2, R2]

ify xy |— x^x : xy

1.                            [7^8 12, 749 12, 7?3]

2.      x — x:xy [1, 7'll) 12, 413, 43, 7M] a: — rrjz : г/1— г/

1. x — xz : у (— (я ~ xz : y) (# : '■'vz) (z: — z)

[720 12, 7?2]

2. L — #z : у |— (y : 2:—xz) (xz'я — z:~xz; — x •

— z)               [1, 4Й, Z10 12, 7?3, 7?1]

3. a: — rrz : г/1— (xzy : x — xz): # zy :

:—xzy.~x— zr/          [2, 414, 411 7?1]

4. ж — xz\y\— xzy : я ~ zy : — 2zr/: ~ ж — zz/

[3, 413, 740 12, 7?3, 74, 7¹2, 7?1]

5. x~xz'-.y\—y             [4, 413, 74 12, 7?1]

Ж74. Для любого высказывания L может быть найдена yd О каноническая форма у.

Доказательство МТ1. 1 случай: ck совпадает с у. По 7212 Получаем х у и у х. 2 случай: в х не входит зна^ дизъюнкции, а знак отрицания находится только перед элементарными высказываниями. По 4312 и T4I2 получаем х у и у х. 3 случай: х имеет вид х¹: ...: хп. Если не име^т место 1 случай, по 74712, 47, 48,413, 71012,7 1312, 71412получаем х\— г/и г/ j—■ хА случай: химеет вид ~ ...:    На основании 49, 410, 47, 48, 413, 71012, 74312,

74412 получаем х у и у [— х. 5 случай: х имеет вид yz. Если не имеют места! и 2 случаи, по 47—410,413, 74012, 74312, 74412 получаем х \— v и v [— х, где v есть-высказы-ванцв вида х¹: ... :хп. По 3 случаю имеом v [— у и у |— v. Отсюда на основании правила 7?1 получаем -х у и у |— х, 6 случай: х имеет вид ~ (zv). По 47, 48 и далее как в 3 случае получаем х (— у и у |— х.

МТ2. Если х у есть сильная тавтология, то для нее мо^ет быть найдена" каноническая форма х* у**. Последняя также есть сильная тавтология.

Доказательство МТ2 . В силу МТ 1 для любой х |— у может быть найдена формула дт* |— г/*, где х* и у* суть соответственно канонические формы для х и у. Из O3, MT2JA и MT4I5 следует, что х иж*,р / соответственно равнозначны, и множества элементарных высказываний, входящих в них, совпадают. Поэтому если ж |— г/ есть сильная тавтология, то и х* |— у* есть сильная тавтология. Так как в у* входят только те элементарные высказывания, которые входят в х*, то может быть найдено такое y*z (у: ~ v), удовлетворяющее условиям D5, что множество элементарных высказываний, входящих в него, совпадет с множеством элементарных высказываний, входящих в х. На основании МТ 1 для y*z (г? : ~ г?) может быть найдена каноническая форма r/**. Если ~ х не есть тавтология, то r/** есть каноническая форма для г/* (г? : ~ v). Очевидно, что в этом случае r/** равнозначно г/*. Следовательно, х* |— r/** в данном случае является сильной тавтологией. Если ~ х — тавтология, то х* в х* |-— r/** принимает значение 0 при любых комбинациях значений входящих в него элементарных высказываний. Поэтому и в этом случае х* |— r/** является сильной тавтологией.

МТЗ. х\— у есть теорема S⁴, если и только если ее каноническая форма я* s— r/** есть теорема S¹.

Доказательство МТ3. Пусть я |— у есть теорема Si. Покажем, что в .этом случае х* |— z/** есть также теорема S¹. Формула я* z/*, где х* и r/* суть канонические формы для х и у, является теоремой 5¹, так как она может быть получена по правилу 2?1 из х р- у на основании D2 и МТ1. Если множества элементарных высказываний, входящих в х и у, совпадают, ивж* нет вхождений вида — аа, которых не было бы в?/*, то 2* у** совпадает с r/*. Если в 2* входят высказывания z¹, ..., z™, которые не входят в r/*, то на основании Л13, 7112, Я1, R2 получаем х* [— |— z/*z, где z есть высказывание вида z¹- ... *zw. Если в я* входят элементарные высказывания г?¹, ..., гЛ’, которые не входят в у*, то по 72012 , используя АН и А12 и применяя

Ri и R2 получаем x* \— у* (v : ~ v), где v есть v¹ • ... -vk. Таким образом, мы показали, как от х у перейти к х* |— s— (v : ~ v). По T10I2 и Ri отсюда следует х*   у**.

Пусть х* у** есть теорема S*. Покажем, что тогда х |— у также является теоремой Sх. Действительно, на основании Л13, 7’1012, ЛЗ, 7’112, 2?2 и 2?3 от х* у** можно перейти к я* [— у* и далее в силу D2 и МП получить х\—у.

МТ4. Пусть формула х\— у есть сильная тавтология, в канонической форме, имеющей вид хА: х¹1— у¹: ... : ук. Если ~ х не является тавтологией, то я¹, ..., х¹ имеют такое вхождение в у, что совпадает с некоторыми (необязательно со всеми) из уА,       так что кJ> r.

Доказательство МТ4. Так как ~ х не есть тавтология, то из D2 следует, что при любой комбинации значений входящих в х элементарных высказываний либо все х^ принимают значение 0, либо одно и только одно из принимает значение 1, а остальные принимают значение 0. При этом каждое из х* принимает значение 1 при одной и только одной комбинации значений входящих в х элементарных высказываний. То же самое справедливо и для у¹, ..., ук. Из Di и D3 следует, что множества элементарных высказываний, входящих в х* и у³’, совпадают. На основании Di отсюда вытекает, что я¹, х¹ должны совпадать с высказываниями из у¹, ..., r/K. Действительно, еслиxiне совпадает ни с одним из у¹, . .., ук, то при некоторой комбинации Значений входящих в х элементарных высказываний # принимает значение 1, а у — значение 0. Поэтому если х Ну есть тавтология, то я¹, ..., х* входят в у, так что к > 1.

МТ5. Если х |— у есть сильная тавтология, находящаяся в канонической форме, то она есть теорема Si.

Доказательство МТ5. Пусть в х у не входит высказывание вида ~ аа. Тогда х j— у имеет вида:¹: ... *.хг\—• у¹:... ...: ук (1 i 2Г, где г есть число элементарных высказываний, входящих в 2 у). В силу MZ4 и на основании закона коммутации для дизъюнкции 7812 достаточно показать, что формула я¹: ... : х¹ (— х¹ : ... хк (i к 2Г) есть теорема S¹. В зависимости от к доказательство подразделяется на четыре случая. 1 случай: i = к. Тогда х (— у имеет вид х¹: ... : х' (— х¹ :... : х¹ и доказуема согласно 7’212. 2 случай: к — 2г. По 7’2012, используя ЛИ и Л12, имеем

х¹: . . .: xi (х¹: . .. : х¹) (х¹: ~ л:¹).

Отсюда по 7’112 и RA получаем:

х¹: . . .: х¹|—• х¹:— х¹

Согласно Л 7 и Л 8 отрицание конъюнкции, содержащей г различных элементарных высказываний, дает каноническую форму, состоящую из2г— 1 члена. Следовательно, на основании правила 7?3 и Л12 получаем:

х¹: — х¹1— х¹: . .. :хк (к — 2г).

Отсюда по правилу RA имеем:

х¹: . . . : xi |—• х¹: . .. : хк (к = 2г).

3 случай: к = 2Т — 1. Согласно 2 случаю имеем: х¹: . . . : х* |— х¹: . . . : хк (к = 2г).

Используя 7’812, ЛИ, Л7, Л8 и R3 получаем:

ж¹: . . . : хк х¹: —я* (г I 2Г).

По правилу 7? 1 отсюда следует:

я¹: . .. : х¹|— х¹: — х¹.

Применяя правило R1 к полученной формуле и к формуле, доказанной в 1 случае, имеем:

х¹: . . . : х' |— (х¹: — х¹)(х¹: . . . : х').

На основании Л14 получаем:

(х¹: — х¹) (х¹: . .. : х*) |— х*х1:     : ^xi • ~

Отсюда по правилу /?1 следует:

х¹: . ..: х¹1— х¹х¹. . ..: х¹хг: — х¹.

Так как х¹ не входит в х¹ : ... :х\ а все члены канонической формы различны, то в xlxi (1 r) есть элементарное высказывание вместе с его отрицанием. Используя АН и применяя i раз 7315, получаем:

х¹х¹: ... : хгх*: — х¹1--х¹.

По правилу R1 имеем;

х¹ :...: х¹~ х¹.

По А7 следует:

~ х¹|— х¹: . . .: х¹: .. . : х¹~¹: х¹⁺¹: . . . : хк (к = 2Г — 1).

Следовательно, по правилу 2?1,

ж¹:.,.::*!-?:...:? (Л = 2Г — 1)

4 случай: г < п < 2Г — 1. Пусть I = i 4- 1.

Согласно 3 случаю,

л¹:...: х¹1— х¹:...: х*: xi+2          х⁴‘.

Пусть Z = i + 2 . Тогда по 3 случаю,

х¹: ...: х¹ — xi+2

По правилу 7?2, используя одновременно 7’812, получаем;

х^ : ...': а? |— (xi+2: ж¹: ...: х*: xi+3: ...: хк) — xi+2

На основании Л14 имеем:

(#i+2: ж¹:.: х^) — xi+21— х*⁺² — xi+2: я:¹: . ..: хк

По 7315, используя ЛИ, получаем:

xi+2 — xi+²: х¹:...: xfe (— х¹: .. .: хк (к = 2Г — 2)

Применяя правило 2?1 к трем последним формулам, имеем: xi:...: х^ |— х¹: ...: xfc (к = 2Г- 2).

Действуя аналогичным образом/можно исключить любой <^l^2r) член дизъюнкции

Пусть в х |— у входит высказывание вида ~аа. Тогда х |—• у имеет вид

х¹: . ..: xi |— у¹: ...: ук (1 < i 2s, 1 к < 2s),

где s есть число элементарных высказываний z¹, ...» z% входящих в х\- у, за исключением ауПо 72012, 71J2, 411а 412 и R1 имеем:

х¹:...: х* |— z : ~ z,

где z есть конъюнкция z¹zs. По 413, 7112 и Ri получаем:

х¹:.. .: xi |— w,

где w есть конъюнкция всех высказываний вида ~ аа.

Из полученных формул по R2 следует:

х¹: ...: х*\— w(z : —z).

Отсюда по 47, 48, 71012, 2?3 и R1 получаем:

х¹: . . . : х1 :      : Ук (Л = 2⁸)

На основании 7812,J 7317, 411 и R1 получаем искомую формулу.

Из 71/72 — 71/75 следует метатеорема:

Mf 6. Если х [— у есть сильная тавтология, то она есть теорема S¹.

Система S¹ полна в смысле 71/76.

71/77. Если х zd у есть тавтология, и при этом в у не входят элементарные высказывания, не входящие в я, то х |—у есть теорема S¹.

71/78. Если х р- у доказуема в^и при этом в х Ъ у входят одинаковые элементарные высказывания, то ~ у |— [— ~ х доказуема в SА.

Теорему 71/78 можно рассматривать как производное правило вывода (правило контрапозиции). Она есть следствие 71/76.

§ 8. Независимость S¹

Независимость ряда аксиомных схем устанавливается посредством истинностных таблиц с двумя значениями истинности 1 и 0 (отмеченное значение 1):

1) для А1 принимается ~ х — 0 и х¹ : ... : хп = х¹- ...

... • хп.                                                          '

2) для Л2принимается — х = Лих* : ... : хп — х¹\/\.л .. .\/#п,где\/есть соединительная дизъюнкция (х¹\/.. ,\/хп= = 0,если и только если все х¹, ..., хп имеют значение 0);

3) для А3 принимается ~ х = х, ху = 1, х¹: ... : хп — = 1

4) для А4 принимается = х, ху = х, х¹ : ... :хп = = L-

5) для Л 7 принимается ~ ж = х, х¹: ... :хп = 0

6) для Л9 принимается ~ х= х, х*:...: хп= х¹\/ ...\/хп

7) для Л10 принимается х\ : ... : хп = х¹ \/ ... \/хп

8) для ЛИ принимается х = ~ х, х¹ : я² = 0, я¹:...

... : хп = 1, если все я* = 1, и х¹ : ... : хп = 0 в осталь-ныххлучаях (п > 2); рассматривается частный случай

а¹: а²:... : ап f— (а¹: а²:...: ап-1): а

Для доказательства независимости Л5 и Л6 можно воспользоваться трехзначными таблицами с 0 в качестве единственного отмеченного значения. Следующие таблицы являются общими для Л5 и Л6: 1) ~ х = 1, если х = 1; ~ х = 2, если х — 0; —х = 0, если T — 2; 2) ху = 0, если и только если я = 0 и у = 0; в остальных случаях яу = 1; 3) ж¹ : ... : хп = 1 (и 2); 4) (х у) = 2, если ж = 0 и у = 1 или у = 2; (ж у) = 0 в остальных слу* чаях. Затем:

9) для Л5 принимается я¹ • ... -хп = 0 (п > 2)

10) для Л6 принимается я¹* ...    = 1 (п>2).

Независимость Л 8 и Л13 устанавливается посредством трехзначных таблиц с отмеченными значениями 0 и 1.

2 А. А. Зиновьев

33

Общие для них таблицы : 1) ~ х = 1, если х — 1; ~ х= 2, если х = 0; ~ я = 0, если х = 2 ; 2) (ж |— у) = 2, если M — 0 или х = 1, а у = 2; j) = 0 в остальных случаях. Затем:

11) для -48 принимается ху — 2, если и только если *у = 2 (или то и другое); ху = 0 в остальных случаях; я¹ : ... : хп = 0 (п 2), если одно и только одно х1 равно 0, а все остальные х¹ равны 2; х* : ... : хп = 2, если все я* равны 2; х¹ : ... :яп = 1 в остальных случаях;

12) для -413 принимается ху'= 2, если и только если

х = 2 или у == 2 (или то и другое); в остальных случаях ху = 1; ж¹: ...     — 1.

Независимость Л12 и -414 доказывается посредством четырехзначных таблиц с единственным отмеченным значением 0. Для А12 берется частный случай у¹: (хуа:...: r/m)j— Н у¹: у²... :у™, и независимость его доказывается при условии, что -411 имеет вид ж¹: ... : хп }— х, где отличается от х¹: ... : расстановкой скобок, за исключением случая, когда в скобки берется и хп. Такой формулировки -411 достаточно для доказательства T8I2, с помощью которой легко получить исключенный случай.

Общие для -412 и А14 таблицы: 1) ~ х = х, если х = 1 или х — 2; —2-3; если х = 0; ~ я = 0, если х = 3; 2) яу = 0, если и только если я = 0иу = 0;в остальных случаях яу = 1; 3) (х (— у) = 2, если и только если я = 0, а у = 1, у = 2 или у = 3; (я |— у) — 0 в остальных случаях. Затем:

13) для -412 принимается х¹: ... :хп = 0, если #п = 2; ж¹ ! ... :хп = 2 в остальных случаях;

14) для -414 принимается х¹: ... хп — 1, если хотя бы одна х¹ равна 1; х¹: ... : хп = 0 в остальных случаях;

Для доказательства независимости правил 7?1 и 7?2 достаточно двухзначных таблиц. Таблицы для -R1 : ~ х = = 0; ху = 0; ж¹: ... : яп = 0; (х |— у) = 0, если и только если х = 1 и у == 1. При этом а |— а не будет тавтологией. Таблицы для -R2: ~ х = я; sy — 0;      ...    — 0;

(х\— у) — о, если и только если х = 1 и у = 0. При этом а |— аа не является тавтологией.

«Для доказательства независимости /?3 воспользуемся трехзначными таблицами с отмеченным значением 0: 1) ~ х = 1, еслих — 1; ~ х = 2, если х = 0; —2 — 0, если я = 2; 2) ху = 0, если и только если х = 0 и у = 0; ху — 1 в остальных случаях; 3) х¹ : ... : хп = 1; 4) (я |— г/) = 2, если и только если х = 0, а у = 1 или у = 2; (х (— у) = 0 в остальных случаях. При этом а\— а \ ~аа не является тавтологией.

§ 9. Правило подстановки

MTi. Если х р- у доказуема в S'¹, то z [— v, получающаяся из х у путем подстановки высказывания а на место элементарного высказывания b везде, где Ь входит в х |— у, доказуема в S¹.

Теорему MTi можно использовать как производное правило вывода (правило подстановки в элементарное высказывание, аналогичное правилу подстановки в пропозициональную переменную).

ГЛАВА ВТОРАЯ

СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ

(ДРУГОЙ ВАРИАНТ)

§ 1. Система 8г

Система отличается от S¹ лишь тем, что вместо сильной дизъюнкции используется ослабленная (или соединительная) дизъюнкция (V), и списком аксиомных схем.

Дизъюнкция читается как «По крайней мере одно из». Семантически она интерпретируется так: х*\/ ... \/хп (п 2) имеет значение 0, если все я¹, ..., хп имеют значение 0, и значение 1 во всех остальных случаях:

Аксиомные схемы

А1. — — х[— х А2. х |— *—-*    х

АЗ. ху\— х А4. ху\—ух А5. х*х².. . хп\— у,

где у отличается от (я¹#² ... хп) только какой-то (любой) расстановкой скобок, удовлетворяющей определению D211

А6. у\—ххх². . .хп, где у то же, что и в А5

А7. (x\/y)z[-xz\/ у

А8. xz\/yz\— (x\/y)z

А9. ~(ху)\---х\/~У

~ (хгх². .. хп) |— -— х¹ \/ —х² \/ ... V — хп А10. ~x\f ~у |--(ху)

— х¹ V ~ я² V • • • V — хП Н ~ (a:^ . . . хп) All. xy\/z\~(xy V z)(y\/ ~у).

Для имеют силу метатеоремы непротиворечивости и непарадоксальности, аналогичные метатеоремам MTi 14 — Л/Т314, МТ 116 и MT2I6. Доказательства их аналогичны доказательству упомянутых метатеорем, и мы их здесь опускаем. Вместо ЛИ может быть принята «более простая» аксиомная схема

Л*11. х\/— yyz\—х

Сильная дизъюнкция может быть введена посредством определения:   >                                     х

Di. х г у есть сокращение для х ~ у\/ — ху; х¹ : х² : ... ...: хп есть сокращение для у¹ \/ ...\/ уп, где у¹ (I — 1, ... ..., п) есть конъюнкция я* и отрицаний всех остальных высказываний из числа х¹, ..., 2".

Если сильная дизъюнкция принимается как первичный оператор, вместо Di принимаются дополнительные аксиом-ные схемы:

Л12. х¹:. .. : хп |— у¹ \/ ... \/ уп,

где r/i (r — 1, ..., п) есть конъюнкция х* и отрицаний всех остальных высказываний из числа х¹, ..., хп.

А13. у¹ \у . . . \/ уп х¹:     : хп,

где уS ..., уп те же, что и в Л12.

Система S± сформулирована в [4,5].

§ 2. Полнота

Если х |—• у и у |— х, будем для краткости писать, как и выше, х —11— у.

Т1. х —| |— х (р V ~ Р), гДе Р входит в х.

Доказательство Ti.

1. х¹ • ... • хп —| г/, где у отличается от х¹ • ... -хп любой расстановкой скобок, отвечающей определению высказывания или последовательностью записи ж¹, ..., хп

[44— 46, Я1, ЯЗ].

2. хг\/ .. .у/xn —1|— —-(~х¹ • ... •— хп)

[49, 410, 41, 42, ЯЗ]

3. х¹ у • • • V хП —IН у<

где у отличается от ж¹ У/ ... У/ хп расстановкой скобок или порядком записи х¹,..., хп [1, 2, ЯЗ, Я1].

4. хх—||—х                  [43, 41, 42, Я1, Я2]

5. хУ/ х—\\— х [4, 49, 410, ЯЗ, Я1, 41, 42]

6. {х\/ у) z —11— xz V yz            [48, 47, 43, Я2]

-  7. ж—1|—ж(р\/~Р)

где р входит в х.

Теорема 7 доказывается индукцией по числу вхождений логических операторов в х. Пусть х есть р. В таком случае р.^\_р(ру/~р) [41, 42, Я1, 411, 6, 7, Я2, 43] Если х есть— р, аналогично получим — р —]|—•— р (р\/

— р). Пусть х есть у У/ z. Если р входит в у, то по индуктив

ному предположению у —||— у (р V — р)-Последовательно получаем:          ,

а) уУ/z-{\-y(p\/~р)У/z              [ЯЗ, Я1]

б) у Vz~IH УР\/(У ~ Р\/z}'         [6, ЯЗ, Я1, 3]

в) yVz4H(ур\/у~pV2)(р\/~р)

Принятая интерпретация условной импликации отлич

— СчО-11 a-V—N

Аксиомные схемы AV:

ю. nw(a)vn#(b)H"WM)

6- U)H“I^( I*)

в) yVz4H(ур\/у~pV2)(р\/~р)

[411, 3, ЯЗ, Я1]

г) уУ/z~IH(^(р\/—p)Vz)(pV—р) dK3, Я1, 6] Д) У VZ4H(PVz)(pV~P) [47, б^ЯЗ, Я1]

Аналогичный результат получим, если р входит в 2. Пусть далее, х есть yz. Пусть р входит в у. По индуктивному предположению z/HHHpV—p) .

В таком случае получим:

а) yz —| Н ИР V ~ Р)z          [41, 42, 1, ЯЗ, Я1]

б) yz—II— (yz)(p\/~P)             [44, ЯЗ, Я1, 1]

Аналогичный результат получим, если р входит в 2. Случаи, когда х есть ~ у, сводится к рассмотренным ранее.

Т2. х\/ ~рр#-\\-^х,

где р входит в х, а в у не входят элементарные высказывания, отсутствующие в х.

Доказательство Т2.

1. — (*(pV~P))-II--ж [ЯЗ, 7 из П, Я1, Л1, А2]

2. —%\/р — р—1|— ■—'%   [ЯЗ, Я1, Л9, ЛЮ, 2 из Т1]

3. х\/р — р—)Н х               [ЯЗ, Я1, Л1, Л2]

4. ху\/z——-—(«у Vz)               [Л1, Л2]

5. —(ху Vz)~IH(~®V ~y)~z [Л9, ЛЮ, 2 из Tl]

6. ~(яуVz)~II— ~«~z\/~y~z

[ЯЗ, Я1, 5, 6 из Т1\

7.  Vz—II--(~z~zV~?~z) [ЯЗ, Я1, 4, 6]

8. xy\/z—||— (----2)(~~kV~~z)

[ЯЗ, Я1, 7, Л9, ЛЮ]

9. ху\/z—||— (x\/z)(y Vz)      [8, ЯЗ, Я1, Л1, Л2]

10; х \— х\/ у, где в у входят только те элементарные высказывания, которые входят в х [Л 1, Л2, Я1, ЯЗ].

11. ж —11— х\/ ~ рру, где в ~ рру не входят элементарные высказывания, которые не встречаются в х [10, 9, ЛЗ, 3].

D1. Будем говорить, что высказывание находится в канонической форме, если и только если оно имеет вид у¹\/... • • • V Уп (п 2) и удовлетворяет следующим условиям:

1) каждое из у¹ есть (а*р‘• ... • ampm), где р¹, ..., рт суть все элементарные высказывания, входящие в я; а¹,..., а”* означают наличие или отсутствие отрицания, и все а¹»¹,... ..., атрт попарно различны; 2) если р¹ входит в некоторое yi без отрицания, то среди у¹, ..., уп найдется такое ук (не обязательно другое), в которое входит ~ р{, и наоборот; 3) все у¹, ..., уп попарно различны.

D2. Будем говорить, что х\-~ у находится в канонической форме, если и только если оба хи у находятся в канонической форме, и множества входящих в них элементарных высказываний совпадают.

МТ1. Для всякой х \— у может быть найдена х* |— у* в канонической форме такая, что х —I \-х* И Н |—У* доказуемы в

Доказательство МТ 1.

1. Для всякого х может быть найдено у, находящееся в канонической форме такое, что я—| |—у. Это утверждение доказывается методом математической индукции по числу логических операторов, встречающихся в х. Если х есть р, то

р Ч \— р \/ — рр                         [3 из Т2].

Аналогично

—р —41--pV~pp-

Пусть х есть х¹ \/ х². По индуктивному предположению Ж¹—II— У¹    Ж³ —1|— у²,

где у¹ и у² находятся в канонической форме. В таком случае х¹ \/ х² —| у¹ V У²                          [ЯЗ, R1]

У¹V ? Ч Н (У¹V У²)(5¹ V ~ <7Х)           Р из П],.

где д¹ есть элементарное высказывание, отсутствующее в г/¹ или в у².

[ЯЗ, Я1, 6изТ1]

Пусть г/¹ есть z¹ \/ ... V zn, а у²есть zx\/ ... \Zzm. Согласно 6 из Т1 имеем

У¹ V У² —IН ZV V • • • V ZV V zl — Я¹ V • • • V

— Vzi?xV • • • V³™ — ?¹

Аналогично для прочих q\ отсутствующих в у¹ или r/², получим

уЛ V у² ~IН • • • як V • • • V ZV • • • як V • • • V

Vzi — я¹ ■ • • ~ як V • • • V zm — у¹ • • • — як-

Используя 4 из 71 и 5 из 71, 7?3 и 7?1, получим

у¹ V у² НН у»

где у находится в канонической форме, и

хх V *² —IН У-

Пусть х есть х¹х². По индуктивному предположению

хг —|[— у¹     ж²—1(—У²»

где у¹ и у² находятся в канонической форме. Пусть у¹ есть z¹ v ... Vа у² есть zi V ••• W- Имеем

у‘у² Ч f— 2^1 V ... V V ••• V z”zl V ••• V

1ЯЗ,Я1, 6 из Т1].

Используя 1, 4 и 5 из Т1, получим

УгУ² Ч Н У.

где у находится в канонической форме. Поскольку

Л;² —| р- у¹!/²,

имеем

Л² —11— у.

Случай, когда х есть ~ я¹, сводится к рассмотренным выше.

2. Пусть р¹, рк суть все элементарные высказывания, входящие в х и отсутствующие в r/.

^Н^Ср¹ \/~р*)• • • (ркV~p*) П из ^2, Я1]. Для ж согласно 1 из 73 может быть найдено х* в канонической форме такое, что

Аналогично для У (р¹ V ~ Р¹) ••• (PfeV ~ Pfr) ^ожет быть найдено у* в канонической форме такое, что

у (р¹ V ~ р¹) • • • (р* V—ps) Ч Ну’.

а по определению j— у* есть каноническая форма для х\-у.

MT2. Если х |— у есть тавтология, то х* |— у* есть тавтология, где i* |— у* та же, что и в MTi (теорема очевидна).

МТ3. Если доказуема х* |— г/*, то доказуема х\— у, где х* s— r/* та же, что и в МТ1 (теорема очевидна).

МТк. Если х у есть тавтология и находится в канонической форме, то х\— у доказуема в

Доказательство МТ4. Пусть х есть z¹ \/ ... Vzte, а у есть zt \/ ... Vzi- Возможны два случая: 1) у есть противоречие; 2) у выполнимо (т. е. не есть противоречие). Рассмотрим первый случай. Если у есть противоречие, то и х есть противоречие. Значит, все Z* и z₇- суть противоречия. Пусть г?¹, ..., vm суть всевозможные противоречия, образованные из элементарных высказываний, входящих в х и у, такие, что г?¹ \/ ... \/ vm находится в канонической форме. Очевидно, среди г?¹, ..., vm имеются все zl и z₇-. В доказуема гЛ \/ ... V vm Н vi V • • • V vm- По Т2 получа-ем,чтог/ V ... V vm}—z₁ V ... \/zzh zl V ••• V²* Н ylV ••• ... V vm доказуемы. Значит, доказуема z¹ \/..; V z,t Н zi V • • • ... V ²ь т. е. х | у.

Для второго случая возможны два подслучая. Первый — у не есть тавтология. Если у выполнимо, то выполнимы ZL1, ..., zir (г > 1), гдег{1, ..., zir суть какие-то из z₁₉..., Zj. Пусть ни одно из zilt ..., zir не входит в х. При этом х должно быть противоречием (иначе оно может быть истинным при неистинном у). Поскольку х |— х₉ по Т2 имеем х\— х\/ у и х\- у. Пусть z₇₁, ..., Zj s (§ > 1) суть все из zn, ... zir, входящие в х. Так как у не есть тавтология, в х не должны входить другие выполнимые z*. Значит, все остальные z* суть противоречия. Имеем V ••• V ²/§ |— I— V ... V Zjs, И ПО Г₂ Z¹ V ••• V Ь Zji V — V- 2,-3' 2,1V-          V2I,Z¹V-V2fch2₁V--V2b

т. e. x |— у.

Второй подслучай второго случая — у есть тавтология. При этом в у входят всевозможные выполнимые высказывания с соответствующими элементарными высказы-йаниями. Если в х йе йходйт йи одно йз выполйимых zb то все г¹, zk суть противоречия (этот случай уже рассмотрен). Если в х входит хотя бы одно выполнимое 2$, то и этот случай рассмотрен выше. Таким образом если х 1— у есть тавтология, то она доказуема в S±. И в силу МТ2~ и МТ3 будет верна метатеорема полноты:

МТ5. Если х \— у есть тавтология и при этом в r/ не входят элементарные высказывания, отсутствующие в х (т. е. х у есть сильная тавтология), то она есть теорема S±.

Теоремы Т1, Т2, и МТ1 доказаны в работе А. М. Фединой [14].

МТ6. Если х\— у\/ z и z v доказуемы в то х Н У V v доказуема в Sv

МТ1. Если х [— у и z |— v доказуемы в *S\, то x\/z |— у \/ V доказуемы в

Теоремы МТб и МТ1 суть следствия МТ5. Их можно использовать как производные правила вывода.

§ 3. Независимость 8г

Независимость *S\ доказана Е. А. Сидоренко [11]. Независимость большинства аксиомных схем S± доказывается посредством интерпретации с двумя истинностными значениями 1 и 0 (отмеченное значение 1). Формуле следования х [— у приписывается значение 0 только в одном случае, когда значение х равно 1, а значение у равно 0. При этом для доказательства независимости аксиомных схем А1 — А9 принимаем:

1) для А1 принимаем, что ~ х = 1 (тот факт, что интерпретация логического оператора не указывается, означает, что имеется в виду принятая выше интерпретация);

2) для А2 принимаем, что ~х — 0 и что формуле следования приписывается значение 1 также и в тех случаях, когда в нее входит по крайней мере один из знаков • или \/;

3) для АЗ принимаем, что ху = 1 ,х\/ у = 1, ~ я — х\

4) для А4 принимаем, что ху ~ х, х \/ у = 2, ~ 2 — 2;

5) для Л 5 принимаем, что я¹#² ... хп = 1, если п > 2;

6) для Л6 принимаем, чтож¹ х²...хп — 0, если п 2;

7) для Л 7 будем считать, что знак \/связывает сильнее, чем •;

8) для Л8 условимся, что формуле х [— у приписывается значение 0 также в тех случаях, когда она имеет вид xi V х2 Н У1У^ и ПРИ 9том не выполняется ни одно из следующих условий: а) в х (— у входит знак в) в х не входят элементарные высказывания, отсутствующие в уг или у₂; с) 2Х [— 2₂ и х₂ |—• х± доказуемы в

9) для Л9 принимаем, что х\/ у = у.

Независимость ЛЮ и ЛИ доказывается посредством истинностных таблиц с тремя значениями истинности 1, 2, и 3 (отмеченное значение 1);

10) для ЛЮ принимаем, что ху = 3, если 2 — 3 или у = 3, и ху = 1 в остальных случаях; х\/ у — min (2, у)\

— 2-4 — 2; формула х |— у получает неотмеченное значение только в случаях, когда значение х равно 1, а значение у равно 3, и когда значение х равно 2, а значение у равно 1 или 3;

И) для ЛИ принимаем, что ху — max (2, у), х \/ у =• = min (2, z/),~ 2 = 4 — 2, формула х\— у принимает значение 1 тогда и только тогда, когда значение х больше или равно значению у.

Независимость правила Ri доказывается в трехзначных таблицах: ху — max (2, r/), х\/ у = min (2, у), ~ х =

— 4 — 2, формула 2 [—у имеет неотмеченное значение только в случае, когда значение х равно 1 или 2, а значение у равно 3. При этом теорема р \/ ~ qq |— р (q V ~ 0) имеет неотмеченное значение при р = 3 и q = 2.

Для доказательства независимости правила R2 достаточно воспользоваться двузначными таблицами: ху = 1, х\/ \/ у = 1, ~ 2. = 1, формула 2 |— у имеет значение 0 только в одном случае, когда значение обоих х и у равно 0.

При этом теорема р\— р имеет значение 0 при р = O.j

Независимость правила R3 доказывается с пОмоЩьЮ следующих трехзначных таблиц: ху = 1, когда х = 1 и у = 1, и ху = 3 в остальных случаях; х\/ у = 3, когда х = 3 и у = 3, лх\/ у — I в остальных случаях; —х = = 4 — я |— I/ принимает значение 1 тогда и только тогда, когда значение х больше или равно значению у. При этом Р Н РР принимает неотмеченное значение при р = 2.

§ 4. Эквивалентность S¹ и 8±

Если в S¹ —принято D2I3 или приняты Л17 и Л18, а в Sx принято DI 19 или приняты Л12 и Л13, то в силу теорем полноты МТЗП и 7ИТ511О будет иметь силу следующая теорема эквивалентности S¹ и Sx.

МТ 1. Если ж|-I/ доказуема в S¹ (или в Sx), то она доказуема в (соответственно в S'¹), т. е. множества теорем S¹ и S'x совпадают.

§ 5. Сильное следование

Системы S¹ и Sx суть системы сильного логического следования. Они определяют правила сильного ^логического следования для высказываний с операторами конъюнкции/ дизъюнкции, отрицания и другими, производными от них операторами. Будем символом S® обозначать S¹, Sx и любую другую логическую систему, эквивалентную S¹ и Sx.

Возможны различные варианты Ss, отличные от Sx и S¹. Приведем некоторые из них, рассмотренные Е. А. Сидоренко в работе [10].

Система Sx , эквивалентная 5Х , получается из Sx путем замены аксиомных схемЛ8 и АН на аксиомную схему А*11 и правило 7?*4:

Л*11^ х\/—хх\— х

R*4. Если х у, то х [— у \/ z, где в z нет элементарных высказываний, отсутствующих в х.

В имеют силу теоремные схемы:

Т1. х\— х(у\/ ■—-у), где у входит в х.

1. — ж'УУI— — ж                    [Л*14]

2. —х\--х\/~уу                     [7?*4]

3. --х\--(—ж\/ —уг/)             [1, 2, Д1]

4. ±|-х(у\/~у)         [3, Л9, ЛЮ, Ri\ R2]

Т2. ху\/z\-(xy\/z)(y\/~y)                [74]

Т’З. xz\Jyz[— (x\/y)z

1- {х\/у)х\~ х(УV~Ю             [ТЛ, ЛЗ]

2. х(у                              [ЛЗ, Я*4, 7?3]

3. ху\/х—х\/~уу [1, 2, 7?1, Л9,Л10]

4. xz \/ yz | xz \у yz \у z \у —уу \у <—* хх [2?*4]

5. xz\/yz\— z\/■— хх\/ — уу [3, 4, Я1, 7?2]

6. xz \/ yz |— z                       [5, A* 11, R2}

7. xz(y\y ~y)(x\/y)\/yz(x\/ ~x)(x\y y)\-

\~Х\/У                                [6J

8. xz(y\/~y) —|H(^z)(yV —

[ЛЗ, Д*4, ЯЗ]

9. yz(x\/~x) —(yz) (х\/— x) (х\/ у) [ЛЗ, 7?*4, 7?3]

10. xz (y V ~ y) V yz (x V ~ x) [— xz (y \/-~ y) ■

\x\/y)\/ yz(x\J ~x)(x\/ y) [8, 9, Rl, R2]

11. xz (у \/ — у) \/ yz (x \J — x) |— x V у [7, 10, 7?2]

12. (xz V yz) (ж V ~ x) (у V ~ У) H(N V ~2/)V

\/yz(x\/ ~x)               [ЛЗ, Л 7, Л2, ЛЗ]

13. хг\/У2|— (xz\/ yz)(x\/ ~х)(у\/, ~ y) [7'1, 7?2]

14. а:г\/уг|-ж\/у                 [It, 12, 13, Я2]

15. xz\/ yz |— (x \J y) z                       [6, 14, 7?3]

Аксиомная схема ЛИ системы S± есть частный случай 7'1, а 7’3 есть Л 8. Отсюда следует эквивалентность   и S* .

Система удобнее, чем 5Х, в таком смысле: благодаря 7?*1 многие важные теоремы доказываются проще, чем в 5Х. А доказательство 7?4* в довольно громоздко.

Независимость -4*11 доказывается той же интерпретацией, что и независимость ЛИ в Sx.

Независимость правила R1 доказывается в трехзначных таблицах: ху = max (х, у), х\/ у = min (х, у), ~х — = 4 — х, х |— у принимает неотмеченное значение только в случае, когда значение х равно 1, а значение у равно 2 или 3. При этом теоремар V Q Н (Р V Р) (?V—9) принимает неотмеченное значение три р — 1 и q = 2.

Независимость правила 7?*4 можно доказать, принимая интерпретацию, с помощью которой в Sx доказывалась независимость -48.

Для доказательства независимости остальных аксиом и правил вывода SJ принимается та же интерпретация, что и в системе Sх.

Система Si*, эквивалентная Sx, получается из Sx заменой экономных схем Л9 — -411 и правила -R3 на экономные схемы Л9* — Л11 п правило /?3**:                 .

Л- 9.

Л**10.         --(х\/у)

Л**11.

72**3. Если х |— у, то |— где в ж и I/ входят одни и те же элементарные высказывания.

В системе Si* правило 7?3 системы Sx получается как производное, что отвечает традиции.

Независимость схемЛ**9и Л **11 доказывается той же интерпретацией, что и Л9 и ЛИ в S1.

Независимость Л **10 доказывается с помощью трехзначных таблиц: ху — 1, когда х = 1 и у = 1, и ху = 3 в остальных случаях; х\/ у = 3, когда ж = 3 и у = 3, и я V У ⁼ 1 в остальных случаях; ~ ж равно 3, когда х = — 1, и —х = 1 в остальных случаях; х \—у принимает неотмеченное значение только в случае, когда значение х равно 1, а значение у равно 2 или 3.

Для" доказательства независимости, АЗ условимся, что х |— у получает неотмеченное значение, когда в х входят элементарные высказывания, отсутствующие в у.

Независимость Д**3 доказывается той же интерпретацией, что и R3 в Sr.

Независимость остальных аксиом и правил доказывается тем же способом, что и в Sr.

Система S*\ эквивалентная Sх, получается из S¹ путем замены R3 на R*3:

R*3. Еслия|— У • zuz\— у, тох [— у : v\ если х (— у1 ... : уп' z и z |— у, то х Hz/¹-’ ••• ' Уп - и.

Система 5?, эквивалентная получается из S± путем аналогичной замены R3 (с той разницей, что вместо знака : фигурирует знак >/).

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ОСЛАБЛЕННОЕ СЛЕДОВАНИЕ

§ 1. Система 8²

Система S² получается из S¹ благодаря присоединению к аксиомным схемам S¹ аксиомной схемы А15 и ограничению правила 7?1:

415. —х\— — (ху)

Ri. Если х у и у \— хи при этом в х, у и z входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание, то х 2.

Поскольку в S² доказуемы формулы х \— у такие, что в у входят элементарные высказывания, отсутствующие в х, то система S² может быть названа теорией ослабленного следования. Система S² сформулирована в [4, 5]. Ограничение на R1 предложено Г. А. Смирновым. Им же доказана в [13] непарадоксальность и полнота S².

Непротиворечивость S² следует из того обстоятельства, что все аксиомы вида |— — (ху) суть тавтологии. Независимость 415 следует из того, что она есть единственная экономная схема, в которой в формулах х \-у в заключении у допускаются элементарные высказывания, отсутствующие в посылке х.

§ 2. Непарадоксальность 8²

Система S² непарадоксальна в смысле следующей метатеоремы:

МТ1. Если х |— у доказуема в S², то в х и у входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание.

Доказательство МТ 1. 1 случай: х\— у есть аксиома системы S². Путем проверки можно установить, что в х и у входитИо крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание. 2 случай: х |— у получена из я |— z и z \— у путем применениям правила R1. Так как .правило R1 применимо только в том случае, если в х, у и z входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание, то в жр у шв х ту входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание. 3 случай: х\— у имеет вид х |— vz и получена по R2 из х и и х |— z. Если в последних в х и у, а также в я и z соответственно есть по крайней мере одно одинаковое вхождение элементарного высказывания, то и в я |— увхиву входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание. 4 случай: у в х |— у получено из х путем замены вхождения (по крайней мере одного) z в х на v, причем z |— v и и |— z. Если в z и v есть по крайней мере одно одинаковое вхождение элементарного высказывания, то и в х |— у в х и у входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание.

Из МТ1 следует, что формулы вида ~хх |— г/, J— г/ : :     х\—у\/ '-'-'У, х\—~(~УУ) недоказуемы в S². Ана

логично выражения вида х\— (у |— х) и х [— (— х у) не являются формулами следования, доказуемыми в S². Таким образом, и в S² исключаются «парадоксы», подобные «парадоксам» материальной и строгой импликации.

§ 3. Полнота 8²

[А15, R2]

[А2]

Т1. х\— х(у:~у) Т2. х(у.~у)[-х

Di. х** [— у** есть каноническая форма для если и только если: 1) х** есть каноническая форма для a* (2 : ~ z), где х* есть каноническая форма я, a z есть конъюнкция элементарных высказываний z¹, ..., zl (Z > 0), Которые входят в у, но йе входят в х\ 2) у** есть кайойй* ческая форма для r/*v (iv : ~w), где r/* есть каноническая форма у, v есть у¹- ... • ит (т^ 0) (где vl есть которое входит в 2*, но не входит в r/*), a ip есть конъюнкция w¹, ..., ipr (г > 0), которые входят в х, но не входят в у, за исключением элементарных высказываний, входящих в х* вместе с их отрицанием.

МТ 1. Если a: j— r/ — тавтология, и при этом в х и у есть по крайней мере одно одинаковое вхождение элементарного высказывания, то для нее может быть найдена каноническая форма х** |— r/**. При этом #**   у**

есть тавтология, причем множества элементарных высказываний, входящих в я** и r/**, совпадают.

Доказательство МТ 1. В силу MT117, для любой n j— r/ может быть найдена х* j— г/*, где х* и г/* суть канонические формы для х л у соответственно. По 7)317, Л/Т214, М 7415 следует, что жиж^и / соответственно равнознач; ны, и множества элементарных высказываний, входящих в них, совпадают. Поэтому если х\— у есть тавтологиями в хи у есть по крайней мере одно одинаковое вхождение элементарного высказывания, то и х* |— у* есть тавтология, причем в х* и у* входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание. При этом может быть найдено такое х* (z : — 5), удовлетворяющее условиям 7)1, что множество элементарных высказываний, входящих в него, совпадает с множеством элементарных высказываний, входящих в у.' С другой стороны, всегда найдется у* v (iv : : ~ w ), удовлетворяющее условиям 7)1, такое, что множество элементарных высказываний, входящих в него, совпадает с множеством элементарных высказываний, входящих в х. Приведение этих высказываний к канонической форме не изменит их значений и множеств, входящих в них элементарных высказываний. Следовательно, может быть найдена х** s— r/** с одинаковыми вхождениями элементарных высказываний в 2** и у**. Если ~ х не есть тавтология, то 2** и U** соответственно равнозначны х* и у*, ТАк что х¹ ² s— у² такя<е есть тавтология. Если ^х является тавтологией, то 2² всегда принимает значение 0; следовательно, 2² |— г/² и в данном случае является тавтологией.

МТ2. х у доказуема в S² , если и только ^сли ее каноническая форма я² |— у² доказуема в S².

Доказательство М72. Пусть я |— у доказуема в S². Тогда на основании M71I7 доказуема я* |— у*, где ж* и г/* суть канонические формы для хи у соответственно. Используя 71 и 72, можно получить х* (z : ~ z) р-u-). От «этой формулы на основании 413, АЗ, R2 можно перейти к х* (z : ~ z) y*v (w : ~ w). Приведение данной формулы к канонической форме дает формулу г.

Пусть 2² s— у² доказуема в .S². На основании 413, 71012, 71,72, 43, /?3 и 7?1 можно получить формулу х* |— f— у*. В силу M71I7 отсюда имеем, что х у также доказуема в S².

М73. Если х }— у — тавтология, в х и у есть по крайней мере одно одинаковое вхождение элементарного высказывания, и при этом х\—у находится в канонической форме, то она доказуема в S².

Доказательство М73 полностью совпадает с доказательством аналогичной метатеоремы для системы S¹. Из MTi М73 следует:

М74. Если х р- у есть тавтология, и в х и у есть по крайней мере одно одинаковое вхождение элементарного высказывания, то х |— у доказуема в S².

Доказательство полноты 8г сохраняет Силу и для 8₂, как показала А. М. Федина [14], поскольку в доказательстве всех ранее рассмотренных теорем МПП2 — МГ5П2 ограничение на 7?1 выполняется. Только незначительно модифицируется доказательство Л/Т1П2 следующим дополнением. Пусть д¹, ...,дг суть все элементарныевыска“ зывания, входящие в у и отсутствующие в х. В таком случае

I- у (pl V—р¹) ■ ■ ■ (рк V—рк)-

А для (g¹ V ~gx) ...(g* V —gz) имеется х в канонической форме такое, что

* (Я¹ V ~ Я¹) • • • (Q¹ V ~ Н F **

Из полндты 5² и 5₂ следует и эквивалентность.

§ 5. Системы Sw

х Системы ослабленного следования S² и 5₂ и другие, эквивалентные им системы будем обозначать символом Sw. Е. А. Сидоренко в работе [10] исследовал такие системы Sw.

Система 5₂ ослабленного следования получается из 5J путем снятия ограничения на 7?*4 и принятия ограничения на R1, аналогичного ограничению R1 в S².

Если в S*i отбросить А8, снять ограничение на 7?3**, а правило 7?1 принять с указанным в 5₂ ограничением, то получим систему 5₂*, эквивалентную S₂. В этой системе правило подстановки эквивалентности (правило 7?3) не является основным.

Аксиомная схема А 8 не является независимой в S2 это видно уже из того, что она не является таковой в 8{ .

Независимость А12 в S₂ следует из того факта, что это единственная схема, которая в правой части формул х Ну допускает элементарное высказывание, отсутствующее в левой.

Доказательство независимости остальных схем й правил не отличается от доказательства их независимости в 51.

Проблема независимости 5₂ решается тем же способом, что и для 51 .

Для доказательства независимости 5₂* принимается та же интерпретация, что и для соответствующих схем и правил системы

Доказательство А8 в 5₂:

1. х{х\/‘у)\-х

[43]

2. х[— х

[Al, A2, ЯП

3. х\— х\/у

[4121

4. х |— х (х V у)

[2, 3, R2]

5. — (х (х V у)) |--х

[1, 4, Д1]

6. —х\/ — х~у\--X

[1, 4,-49, 410]

7. —х\/ху

[412]

8. х\/ху\—х

[6]

9. xzVyz\—xz\/yzVz

[412]

10. xz\/yz\— z

[7-9, Я1]

11. xz (x V y) V yz (x V y) P

x\/y          ■      [10]

12. xz(x\/y)\—xz

[43]

13. xz|—xz(x\/y)

[412, 43, Rl, 2, 7?2]

14. yz |— yz (x V y)

[13, 44]

15. yz (x V y) f— yz

[43]

16. xz\/yz\-x\/у

[11-15, jRI]

17. xz\/yz[— (х\/у) z

[10, 16, 7?2]

§ 6. Системы, сходные с Sw

Если в системах Аккермана, Андерсона и Белнапа (см. о них в [8]) только один знак сильной импликации рассматривать как знак следования в нашем смысле, то полученные системы будут непарадоксальны в том же смысле, что и Sw. Но эти системы не являются полными в смысле полноты Sw.

Неполнота системы Аккермана видна из такого рассуждения. В системе Аккермана доказуемы формулы (стрелка — знак сильного следования)

~   ~хх\/ — ху

~хх \/ ~ху1-+~х(х\/ у), из которых по транзитивности получилась бы парадоксальная формула

— хх —> r/, если бы была доказуема формула

— %(х\/у)~+у.

Во избежание парадокса система построена так, что последняя оказалась недоказуемой. Так что целый класс формул, удовлетворяющих теореме непарадоксальности Z?w, здесь выпадает. Аналогично обстоит дело с системами сильной импликации Андерсона и Белнапа.

Система, непарадоксальная в смысле 5го, но точно также неполная, построена Л. А. Бобровой в работе [2] (путем ослабления нашей системы S⁸). Система Бобровой с точки зрения теории логического следования безусловно предпочтительнее систем Аккермана, Андерсона. и Белнапа, в которых исключение парадоксов материальной и. строгой импликации достигается ценой исключения правил. следования, интуитивно непарадоксальных и вообще не вызывающих сомнений (подробнее об этом см. [8]).

Неполнота систем следования в нашем смысле не исключает их полноту в некотором другом смысле. Такой является, как показал Е. А. Сидоренко [10], система S^, в которой принимаются экономные схемы 41 — 410 системы и следующие правила вывода:

7?1. Если х\—у, то —у\— — х

R2. Если х |— у и у |— и, то ж j— z

R3, Если х |—• у и z |— у, то х\/ z\—у \/ и.

Выражение «дизъюнктивная нормальная форма» будет употребляться здесь в обычном смысле: хх\/...\/хп (n > 1) находится в дизъюнктивной нормальной форме, если и только если каждое xi (1 i п) есть конъюнкция, образованная из элементарных высказываний и отрицаний элементарных высказываний. Элементарные высказывания и отрицания элементарных высказываний, входящие в я*, суть конъюнктивные составляющие х¹. Высказывание х приводится к дизъюнктивной нормальной форме у (или у есть дизъюнктивная нормальная форма х), если и только если r/ находится в дизъюнктивной нормальной форме, и при этом х |— у и у |— х доказуемы в данной системе.

Правила R2 и R3 системы тривиально получаются в <§2- Обозначим их соответственно R*4 и R*5. Доказуема теоремная схема х \— х \/ у. Доказуема также метатеорема о том, что каждое высказывание в S\ приводится к дизъюнктивной нормальной форме, и все вытекающие из нее следствия.

Нам важны здесь такие метатеоремы

МТ1. Если х\— у доказуема       при этом хг\/ ...

... V хп есть дизъюнктивная нормальная форма 2, а у¹ \/ .,. ... \/ут есть дизъюнктивная нормальная форма у, то для. каждого х¹ найдется уз такое, что xi |— у1 есть тавтология, и каждая конъюнктивная составляющая у? входит в х*.

МТ2. Если х*\/ ... \/хп есть дизъюнктивная нормальная форма х, а у*\/...\/ут дизъюнктивная нормальная форма у, и если для каждого х¹ найдется r/^такое, что х¹1— yi есть тавтология, и каждая конъюнктивная составляющая yi входит в то х\—у доказуема в §2 (теорема полноты).

Справедливость МТ1 видна из того, что она имеет силу для всех аксиом S2, а правила вывода S% сохраняют это свойство. Справедливость МТ2 видна из следующего: если х¹ s— yi есть тавтология указанного вида, то она доказуема в тогда согласно теоремной схеме а\—а\/Ъ будет доказуема х*\— у¹ \/ ... \/ут\ а так как по условию это имеет место для каждого то доказуемы х¹1— у¹\/ ... \/ ут, ..., хп[—у¹\/ ... V ут и согласно 7?3 доказуема х¹ V ... \/ хп |— у¹ V • • • V ^'..поскольку доказуемы х—\\-~x¹ V ... N/ хпиу —уг\/ ... r/^, по Я*5 доказуема х Н У-

В §2 является производным следующее интересное правило вывода:

7?*6. Если х \—у, где хи у находятся в дизъюнктивной нормальной форме, то х* j— г/*, которая получается из х\— у путем подстановки на место конъюнктивных составляющих в х и в у любых высказываний, причем вместо элементарного высказывания и его отрицания могут быть подставлены разные высказывания.

МТ3. Если правило Л*6 принять в качестве основного, то присоединение к аксиомам полученной системы любой недоказуемой формулы позволяет доказать в ней любую формулу а Ь.

Доказательство МТЗ. Пусть х у недоказуема в S\. Пустьх¹ \/ ... \/хп и у¹ \/ ... V Ут СУТЬ дизъюнктивные нормальные формы соответственно х и у. В силу теоремы полноты найдется такое х\ что среди у¹, ..., ут нет такого у\ что все его конъюнктивные составляющие входят в х\ В противном случае х |— у была бы доказуема. Добавим х \— у к аксиомным схемам S2 и добавим к правилам вывода 2?*6. В таком случае будет доказуема х¹ \/... V %п Н У¹ V • • • ... V Ут’ и в силу теоремной схемы а |— а \/ Ъ получим х'^—У¹ V ••• V Ут- Тогда во всякое yj будет входить какая-то конъюнктивная составляющая, отсутствующая в х*. В силу 7?*6 мы можем вместо таких составляющих подставить высказывание z с элементарными высказываниями» отсутствующими в рассматриваемой формуле. В силу ЛЗ имеем у> |— z. Согласно теоремной схеме ас\/ Ъс\— Н(а V Ъ) с получим у¹ \/ ... \/ут }— и, и по R2 получим я* |— и-Подставляя вместо конъюнктивных составляющих х любое высказывание v По 7?*6, получим где и и z суть любые высказывания.

Таким образом, система S% с правилом 7?*6 полна в смысле МТЗ.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

ДРУГИЕ ФОРМЫ СЛЕДОВАНИЯ

§ 1. Максимальное следование

Система S³ максимального следования, изложенная в [3, 5], получается из S¹ путем принятия такого ограничения АЗ: в у входят только те элементарные высказывания, которые входят в х.

Формулировку S³ можно ослабить, как показал Г. А. Смирнов [13], приняв такое ограничение к АЗ: в х и у входят одинаковые элементарные высказывания.

Непротиворечивость S³ очевидна (из непротиворечивости S¹).

МТ 1. Если х |— у доказуема в S'³, то множества входящих в х и у элементарных высказываний совпадают. •Доказательство MTi тривиально: все аксиомы S³ обладают указанным свойством, а правила вывода это свойство «сохраняют.

Т1. (x:y)z\—xz:yz

1. (х: у) z\— у :xz               [А14, Т8 12, R2]

2. (х: у) z |— (х: у) z                            [Т-2 12]

3. (х : у) z |— (у : xz) z (х : у) z

[1, 2, /?2, 7312, 7412, R3]

4. (х: у) z\— (у: xz) z                .   [3, АЗ, R1]

5. (х: y)z\— xz : yz           [4, А14, 78 12, /?1]

72. xz: у Н (xz : у) (х: — х)

1. xz : у |— xz — у : — (xz) у                [717 12]

2. xz : у H xz — у : ~ xzy : х ~ zi/:    ~ zy

[1, 47, 413, ПО 12, 7?3, 412, 7?1]

3. ггн : у |— (лги — у: — xzy :х —zy : ~ х — zy)-

.(я:—я) [2, 748 12, 749 12, 7?3, 413, 7?1]

4. xz:y\— (xz : у) (х : —х) [3, 411, 74712, ДЗ, 7?1]

Используя данные для S¹ определения канонической формы высказываний, введем определение:

Di. Формула я* |— у** есть каноническая форма для х |— г/, если и только если х* есть каноническая форма для х, a r/** — для r/*z, где г/* есть каноническая форма для г/, a z есть высказывание вида zx-z²-...-zm (т > 0) (где z* есть       которое входит в каноническую форму для

х, но не входит в каноническую форму для у).     \

В отношении S³ будут иметь место следующие метатеоремы, доказательство которых получается путем очевидных модификаций доказательства ЛГГ217 и МТ’317.

МТ2. Если х у есть тавтология, и множества элементарных высказываний, входящих в х и г/, совпадают, то для нее может быть найдена каноническая форма х' н НУ**- При этом в х* Н У** множества элементарных высказываний, входящих в/и r/**, точно также совпадают.

МТЗ. Формула- х Н У доказуема в S'³, если и только если ее каноническая форма х* Н У** доказуема в S'³.

МТ’4. Если х\— у есть тавтология, множества элементарных высказываний, входящих в х и у совпадают, и при этом х |— у находится в канонической форме, то х Н У доказуема в S³.

Доказательство МТ4 совпадает с доказательством Л/Т517, за исключением тех шагов в доказательстве AfT5I7, где применяется 7377, недоказуемая в S³. Нетрудно убедиться, что применение 7317 при доказательстве полноты S³ можно заменить применением выводимых в S³ теорем 74312 и 74412 с использованием 411, 412 и 7?3.

Из МТ2 — МТ4 следует:

МТ5. Если х (— у есть тавтология, и множества входящих в х и у элементарных высказываний совпадают, то х (— у доказуема в S³.

Изложенное доказательство МТ5 (т. е. полноты S³) дано Г. А. Смирновым в [13].

Система S₃ максимального следования, эквивалентная S³, образуется из S± путем аналогичного ограничения.

Для доказательства полноты S₃, как показала А. М. Федина [14], достаточно доказать MT4II2 так, чтобы выполнилось ограничение на АЗ. Оно примет такой вид.

1. (х\/у) z\-{х\/у) Z

2. (x\/y)z\- (xz\/y)                         ' [47]

3. (x\/y)z\— (x\/y)z(xz \/y)     '       [R2, 1, 2]

4. {x\/y)z(xz \f y)\-(xz\/y)z

5. (xz\/y)z\- (xz\/yz)                    [47, 44]

6. (x\/ y)z\—(xz\/. yz) '           [Rl, 3, 4, 5]

7. (an V (a-V r/)2                           [48]

При доказательстве остальных метатеорем ограничение на 43 выполняется. ,

Другой вариант системы максимального следования §₃,, предложенный Е. А. Сидоренко [10], получается из Sз заменой R1 и 2?3 соответственно на 2?*1 и 2?*3 и добавлением аксиомной схемы 4*12:

4*12. х\/х\—х

Д*3. Если х\— у и фр, то х\/ z\— у \/ v.

Эквивалентность §₃ и5₃ получается путем доказательства Ri (методом математической индукции по числу вхождений логических операторов в ж) и Ri (оно следует из Л*3, 2?*1, 49, 410, 4*12) в SJ.

Независимость экономных схем и правил S₃ доказывается (это сделано в работе Е. А. Сидоренко [11]) той же интерпретацией, что и независимость соответствующих аксиомных схем и правил системы Независимость экономной схемы 43 в S5 доказывается при помощи трехзначных таблиц: ху — 2, когда х или у равно 2, и ху = = max (.х, r/) в остальных случаях; х\/ у = 2, когда 2 или у равно 2, и я \/ i/=min (х, у) в остальных случаях; ~х — 2, когда — 3, и = 3 в остальных случаях;

принимает неотмеченное значение только в случае, когда значение х равно 1 или 2, а значение у равно 3. При этом теорема ~ рр |—р принимает неотмеченное значение при р = 3. Независимость 4*12 доказывается при помощи трехзначных таблиц: ху = 1, когда х = 1 и r/ — 1, и nr/ — 3 в остальных случаях; х \/ у = 3; когда ж = 3 и I/ = 3, и х \/ у = 1 в остальных случаях, ~ х = 4 — х; значение х |— у равно 1 тогда и только тогда, когда значение х больше или равно значению у. Независимость правила Я*3 доказывается при помощи трехзначных таблиц: ху — max (х, у)] х \/ у = 2, когда хи у равны 2, х \/ у = 3, когда хну равны 3, и х \/ у = 1 в остальных сдучаях; = Зг когда х == 1, и — 1 в остальных случаях; х |— у принимает неотмеченное значение только в случае, когда значение х равно 1, а значение у равно 2 или 3. При этом теорема р \/ q |— j—--р \/ q принимает неотмеченное значение при р = 2

и q = 3. Для доказательства независимости остальных аксиомных схём и правил принимается та же интерпретация, что и В

бистемы максимального следования, эквивалентные S³ и S₃, обозначим Sm.

§ 2. Конверсное следование

Система S'⁴ конверсного следования, сформулированная в [4, 5], получается из SQ путем добавления экономной схемы

415. ~х|--(ху).

Прежде всего заметим, что все теоремы и метатеоремы З3 имеют силу в отношении S⁴, так как S³ является частью системы S⁴. Непротиворечивость S? следует из того факта, что все аксиомы вида ~ х [— — (n у) суть тавтологии.

В S⁴ имеет место следующая метатеорема: .

МТ 1. Если х I/ доказуема в S⁴, то в х входят только те элементарные высказывания, которые входят в у.

Доказательство МТ1. 1 случай: х\— у — аксиома 5⁴. Легко проверить, что в х входят только те элементарные высказывания, которые входят в у. 2 случай: х\— у получена из х z и z у путем применения правила 7?1. Если в х входят только те элементарные высказывания, которые входят в z, а в z входят только те, которые входят в у, то и в х будут входить только те элементарные высказывания, которые входят в у. 3 случай: х\— у имеет вид х [— zv и получена изж|-гиж[-^ путем применения правила 7?₂.хЕсли в посылках я |— z и х и в х входят только те элементарные высказывания, которые входят вгир, тоив заключении х\— zv в х будут входить только те элементарные высказывания, которые входят в zv. 4 случай: у в х |— у получено из х путем замены вхождения (по крайней мере одного) z в х на и, причем z |— v и v [— z. Если в z [— v в z входят только те элементарные высказывания, которые- входят в у, а в у |- z в v входят только те элементарные высказывания, которые входят в и, то множества элементарных высказываний, входящих в v и в z, совпадают. Поэтому в заключении х\— у в х входят только те элементарные высказывания, которые входят в у. I

Т1. х\—х(у:~у)

1. ~ я |■— ~х~^у :ху: — х — у

[415, 47, 7?1]

[11

[2, 7212, 7812, 7?2, R1]

2. х\— ху:~х—у.х~у

3. х [— (~ х — у : ху : х ~ у) х

4. x]-xy:x~y [3, 414, 411-413, 74012,

7’1312, 71412, ЯЗ, R2]

5. х\—х(у:—у)                    [4, 413, 7?1] • Введем, далее, определение канонической формы для формулы следования системы S¹.

D1. Формула n"°* Н r/** есть каноническая форма для х\— у, если и только если: 1) я**.есть каноническая форма для х* (z: — 2), где х* есть каноническая форма для х, а 2 есть конъюнкция элементарных высказываний, входящих в r/, но не входящих в х\ 2) r/** есть каноническая форма для где г/* есть каноническая форма для г/, а у есть 2¹- ... - 2^ (m > 0) (где2^естьвходящее в я*, но не входящее в r/*).

МГ2. Если х у — тавтология, и в^ входят только те элементарные высказывания, которые входят в у, то для нее может быть найдена каноническая форма х** |— r/**. При этом х** |— #** является тавтологией, и множества элементарных высказываний, входящих в х** и у** совпадают.                    /

Доказательство МТ2. Не основании МТИ7, имеющей силу и для 5⁴, для любой формулы х |— у может быть найдена формула х |— у*, где х* и у* суть соответственно канонические формы для хи у. Из определения канонической формы для высказываний, МТИ5 и MT4I5 следует, что х и х*, у~ и у* соответственно равнозначны, и множества элементарных высказываний, входящих в них, совпадают. Так как в х входят только те элементарные высказывания, которые входят в r/, то может быть найдено такое х* (2 : — 2), удовлетворяющее условиям O1, что множество элементарных высказываний, входящих в него, совпадает с множеством элементарных высказываний, входящих в у. С другой стороны, сможет быть найдено такое r/*v, удовлетворяющее условиям ZH, что все высказывания вида — входящие в Z, будут входить и в у**. Для 2* (2 : — 2) и y*v может быть найдена их каноническая форма. Очевидно, что множества элементарных высказываний, входящих в х** и r/**, совпадают. При этом, если ~х не есть тавтология, у** имеет вид г/*, и значение 2** s— у** совпадает с 2* j— r/*. Оледовательно, х * |— у** является в данном случае тавтологией. Если — 2 есть тавтология, то я** принимает значение 0 при любых комбинациях значений входящих в него элементарных высказываний. Поэтому и в этом случае я** j— у** есть тавтология,

МТЗ. Формула х |— у доказуема в 5⁴, если и только если ее каноническая форма j— r/** доказуема в S'⁴.

Доказательство МТЗ. Пусть х |— у доказуема в S'⁴# В силу MT1I5, MT4I5, МТ2 формула х** |— у** является тавтологией, причем множества элементарных вы сказываний, входящих в 2** и r/**, совпадают. Так как S³ полна относительно тавтологий вида х р- у, где в х ив у входят одни и те же элементарные высказывания, то я** Н У** Доказуема в S⁴.

Пусть х** (— у** доказуема в S⁴. Тогда на основании Di и Ti доказуема формула х* |— r/**. Отсюда по Л13 и 43 получаем формулу х* у*. От этой формулы на основании МТ 117 можно перейти к формуле х\— у.

МТ&. Если формула лг |—- г/ — тавтология, в х входят только те элементарные высказывания, которые входят в у, и при этом х s— у находится в канонической форме, то она доказуема в S⁴.

Доказательство МТ& совпадает с доказательством МТ5П. Из МТ2 — МТ4 следует:

МТ 5. Если х\— у есть тавтология, ива: входят только те элементарные высказывания, которые входят в r/, то х |— у доказуема в S⁴.

Изложенное доказательство МТ5 (полноты S'⁴) дано Г. А. Смирновым [13].

Система S& конверсного следования, эквивалентная S'⁴, получается из Sr₃ путем добавления аксиомной схемы

ч 412.     х\/у

3 А. А. Зиновьев

65

Независимость 412 в 5₄ (как и в 5⁴) очевидна: она — i единственная схема, допускающая появление в консек-венте доказуемых формул таких элементарных высказываний, которые Отсутствуют в антецеденте.

Доказательство полноты , S₄, построенное А. М. Фединой [14], имеет следующий вид.

Пусть х у — тавтология. Тогда в силу MT1U2 формула х* j— у*, где х* и у* суть канонические формы хи у соответственно, так же является тавтологией. Подстановка вместо элементарного высказывания у*, встречающегося в х, а значит иву, выражений вида ql (рк V — рк), где рк — элементарное высказывание, встречающееся в у, но отсутствующее в х, так же дает нам тавтологию. Применение 7*1112 и 7?3 к полученным выражениям дает нам опять-таки дизъюнкцию конъюнкций всех элементарных высказываний или их отрицаний, встречающихся в х плюс рк. Таким образом, в х* вводятся все элементарные высказывания, встречающиеся в у, но отсутствующие в х. В у повторения элементарных высказываний элиминируются по zz—\\—z. При этом получается х** [— у** сохраняющая свойство тавтологичности и обладающая» тем свойством, что в антецеденте и консеквенте встречаются одни и те же элементарные высказывания. Дальнейшее доказательство теоремы о полноте остается тем же, что ив

Система §₄ , эквивалентная S₄, получается из путем замены АЗ, 48 и All на экономную схему 4**12 и правило 7?*5:

- 4**12. х\-я(у \/~у) J

7?*5. Если х |— z и при этом в у не входят элементарные высказывания, отсутствующие в z, то ху s— z.

Независимость R*5 доказывается той же. интерпретацией, что и независимость АЗ в Независимость остальных экономных схем и правил доказывается так же, как в, 5₂.

Система S4*? эквивалентная §4, получается из S3 добавлением 4* 12. При этом отпадает необходимость в 43? Системы S₄ и S₄ найденыjh исследованы Е. А. Сидоренко [10].

Системы конверсного следования, эквивалентные S4 и S4, будем обозначать символом Sc.

§ 3. Вырожденное следование

Система S⁵ с вырожденным следованием, сформулированная в [3—5], получается путем принятия Ss и следующих дополнений к ней.

D1. \—х есть формула* вырожденного следования, если и только если х есть высказывание.

Дополнительная аксиомйая схема:

4dl. j— — (—хх)

Дополнительное правило:

Rdi. Если х у и |— х, то |— у.

D2. Формула \—х доказуема (есть теорема) в S⁵, если и только если она есть аксиома или получается из доказуемых формул по правилу Rdi.

МТ1. Если |—х доказуема в Sб, то L есть тавтология.

Теорема МТ 1 очевидна: Adl есть тавтология, a Rdl свойство тавтологичности сохраняет.

МТ2. Если х есть высказывание, а у есть его каноническая форма, то х —1|— у доказуемы в S⁵.

Доказательство МТ2. Пусть х есть элементарное высказывание р. В таком случае каноническая форма для х есть р V ~рр

1. р\-р

2. pHp(pV—р)

3. pHppV~pp Л рНрУ~рр

5. рУ~ррЬррУ~рр

6. ppV~ppH(pV~p)p

7. (рУ-р)рПр

8. р\/~р\_р

' - г                  '

а             э*

Таким образом, доказуема х —|f— у. Аналогично для ~Р-

Пусть х есть у¹. ... .уп (п > 2); уг, ..., уп суть канонические формы соответственно для у¹, ..., уп\ у¹ —11— Уг доказуемы; v¹ V-.-V есть каноническая форма для х.

1. у¹_____.... уп -| I- уг _____.... уп

2. 01-...

3. i/¹ • . .. •    —1|— и¹ V • .. vm

Таким образом, х —|   у доказуема.

Пусть х есть у¹ \/ ... \/ уп\ yt и и¹ \/ ... \/ t?m те же, что и выше.

1. »XV - • •            2/iV- • - \/»n

2. г/iV -• • Vz/nHHylV -• •

3. у¹ v... V уп H HV • • • V vm

Таким образом, доказуема x —|H У-

Пусть, наконец, х есть и есть каноническая форма для z;z-| \—и доказуемы; ип \/ ... \/ ит есть каноническая форма для х.

1. —

2.                • • Vym

3. — 2 —| j— у¹ v • • • V

Таким образом, х —] |— у доказуема.

МТЗ. Если х находится в канонической форме и есть тавтология, то |— х доказуема в S⁵.

Доказательство МТЗ. Пусть в х входит только одно элементарное высказывание р. В таком случае х есть Р V ~Р- Но |— (р V ~р) доказуема в силу 4dl, 49, 410, Rdl.

Пусть в ж входит п элементарных высказываний р¹, ... ..., рп (п > 2) и не входят никакие другие. В таком случае х имеет вид у¹ V ••• V^» гДе 2/¹» суть всевозможные конъюнкции, образованные из р¹, рп и их отрицании (к = 2").

1. нар¹-...•pn)v~(p¹-••••?”))

2. Н ((Р¹-... -р") V (-Р¹    .. V - р"))

3. Http¹- -.. -р") V(^p¹V- - •V-p")) (рп V —pn)

4. H ((p¹- • • • -p”) (pn V-~pn) V

V(—p¹V- • • V~p”)(pnV~pn))

5. (p¹. ... p") (pn\/ —-pn) —I H (p¹- • • • -pn)

6. (—p¹ V • • • V — pn) (pn V ~p”) —I H

—II--p¹ (pn V —- pn) V • • • V ~ рп (pn\/ ~ pn)

7. i—(p¹-... -pn) V('~-p¹(pnV-~pn)V • • • V —pn)

Аналогично для остальных n — 1 элементарных высказываний. В результате получим, что

Н (р¹-... •рпЛ/(~р¹(рп V— р") ... (р² V— р²)) V---

• • • V (~ р” (pn-‘V ~ р”-¹) • • • (р¹ V ~ р¹))

доказуема в Sб. Отсюда в соответствии с А5 — А8 получаем, что доказуема у¹ \/ ... V Ук-

Из МГ2 следует: если у есть каноническая форма для 2, и при этом х есть тавтология, то у есть тавтология. Отсюда получаем: если х есть тавтология, то у есть тавтология, и |—у доказуема (в силу МТЗ). Но согласно МТ2 -формула у х доказуема. Отсюда по Rdi получаем, что s—2 доказуема. Таким образом, верна теорема полноты S'⁵:

МТ4. Если х есть тавтология, то|—я доказуема в S⁵,

Изложенное доказательство МТ4 дано Л. А. Бобровой в [1].

Независимость Ad и Rd и непротиворечивость S5 очевидны.

! :МТ5. Если х\— у и (— доказуемы в S'⁵, то[— доказуема в S⁵.

. МГ6. Если ]— гг и |— г/ доказуемы в S⁵, то \—ху доказуема в S⁶.

Теоремы МТ5 и МТ6 следуют из Л/Т4. Их можно использовать как производные правила вывода. Поскольку в дальнейшем в связи с расширением S⁵ эти правила окажутся независимыми от /??, поэтому мы примем также следующие правила:

Rd2. Если х р у и р ~ у, то Р ~ х. .

7?d3. Если |— х и |— у, то р ХУ-

МТ1. Если р х доказуема в S⁵, то р у, образующаяся путем подстановки высказывания z на место элементарного высказывания и везде, где и входит в х, доказуема в S⁵ (правило подстановки).

§ 4. Квазиследование

Система S⁶ квазиследования, сформулированная в [3— 5], образуется путем присоединения к S⁵ следующего правила:

Rki. Если xz |— у и Р z, то х Р у.

МГ1. Если х р у доказуема 5е, то она есть тавто логия (теорема очевидна)

МТ2. Если х\— у есть тавтология, то она доказуема в 5е.

’ Доказательство МТ2. Пусть х р у есть тавтология. Возможны три случая вхождения элементарных высказываний в х и у : 1) множество элементарных высказываний, входящих в у, совпадает с множеством элементарных высказываний, входящих в х\ 2) в у входят только те элементарные высказывания, которые входят в х\ 3) в у входит по крайней мере одно элементарное высказывание, не входящее в х. Если имеют место случаи 1 и 2, то х р у доказуема в 5е. Если х\-у есть тавтология вида 1 или 2, то яру доказуема в S⁸ согласно теореме о подноте S⁸. Но согласно определению доказуемой формулы квазиследования имеем: если х ~ (~рр) р у и р ~ (~рр) доказуемы, то х Р у доказуема. Формула Р ~(~рр), очевидно, доказуема. Формула я ~ ~ рр) р у доказуема согласно R1 и доказанным выше формулам. Таким образом, х \— у доказуема. Рассмотрим случай 3. Пусть р¹, ...,pn (п > 1) суть все элементарные высказывания, входящие в у и не входящие в х. В таком случае формула х ((р¹- ... -рп) \/ ~ (р¹- ... -рп))Ну будет тавтологией и будет доказуема в Ss в силу теоремы о полноте» Но формула j— (р¹- ...-pn)V ~(рх- ... -рп) доказуема в S'⁶. Следовательно , х |— у доказуема согласно определению доказуемой формулы квазиследования.

Система квазиследования S*⁶, эквивалентная S⁶, получается из S₂ путем снятия ограничения на R2.

МТЗ. Если х =) у есть тавтология, то х\— у доказу-. ема в S*⁶.

Доказательство МУЗ.

1. х(у\/ ~у)\-х.

2. х |— zy \/ х

[43]

[412, Rl, a\/b[-bVa]

3. zy\/ ж |— (zy V ж) V— у)

[411]

[43, 7?1] [2, 3, 4, Я1] [41, 42, Я1]

[5, 6, R2]

[1, 7]

4. zy\/ж|— У\/~У

5. ж |—У V ~ У

6. X |— X

7. х\--х(у\/~у)

8. ж-41—

Пусть р¹, ..., рп суть все элементарные высказывания, входящие в у и не входящие в 2. Если х (z?V ~рг)... ... (рп \/ ~ рп) |— у есть тавтология, то она доказуема в Ss, а значит и в S'*. Но х\—х(р*\/        (рп\/ ~рп)

доказуема в S*e в силу теоремы 8. Следовательно, в силу 7?! доказуема х\—у.

Доказательство МТ2 и МТЗ изложено в работе Л. А. Бобровой [1].

ГЛАВА ПЯТАЯ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ

§ 1. Общая теория дедукции

Рассмотренные выше системы образуют общую теорию дедукции. Прочие разделы логики будут строиться, как это и принято в современной логике, путем присоединения к ней новых элементов алфавита, определений, экономных схем и правил вывода. z

§ 2. Общая теория дедукции

и классическая логика

Интерпретация, приведенная выше для доказательства непротиворечивости и полноты систем общей теории дедукции, образует функционально полную двузначную пропозициональную алгебру. Причем, знак следования в ней интерпретировался как знак материальной импликации.

Отсюда в силу теорем полноты и непарадоксальности для систем общей теории дедукции и в силу дедуктивной эквивалентности классического пропорционального исчисления и двузначной алгебры получаем такие следствия (выражению «элементарное высказывание» при этом будет соответствовать выражение «пропозициональная переменная»):

МТ 1. Формула х у доказуема в 5s, если и только если х zd у доказуема в классическом пропозициональном исчислении и при этом в у не входят элементарные высказывания, отсутствующие в х.

MT2. Формула х \— у доказуема в Sm, если и только если х о у доказуема в классическом пропозициональном исчислении и при этом в х и у входят одинаковые элементарные высказывания.

МТ3. Формула х |— у доказуема в Sw, если и только если х zd у доказуема в классическом пропозициональном исчислении и при этом в х и у входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание.

Л/Т4. Формула х |— у доказуема в 5е, если и только если х zd у доказуема в классическом пропозициональном исчислении и при этом в х не входят элементарные высказывания, отсутствующие в у.

МТ5. Формула х доказуема в S⁵, если и только если х доказуема в классическом пропозициональном исчислении.

МТ&. Формула х \\— у доказуема в S⁶, если и только если х zd у доказуема в классическом пропозициональном исчислении.

Как видим, классическая логика сохраняется в общей теории дедукции в смысле МТ5 и МТ6.

В силу определений формулы следования выражения вида (х |— (у [- х)), (х (~х [— у)), (х |— у) (у \— z) |— р- (х z) и т. п., содержащие по два или более знака следования, не являются формулами следования в системах общей теории дедукции. Так что не каждой правильно построенной формуле классического пропозиционального исчисления вида х zd у соответствует формула х |— у в системах общей теории дедукции. С этой точки зрения даже система S⁶ не совпадает с классическим пропозициональным исчислением. В силу теорем непар адоке аль-ности в системах Ss, Sw, Sm и Sc недоказуемы формулы х |— ~ ( ~уу), ~хх\—у, х |— у V ~ у ит. п., в которых посылка и заключение не содержат одинаковых элементарных высказываний. Тем самым наши системы исключают парадоксы, подобные парадоксам материальной импликации.

§ 3. «Парадоксы» следования

В системах Ss доказуемы формулы вида А: х |— х: ~ х, х\— х\/ ~ х, ~хх\— х. Их иногда рассматривают как частный случай парадоксальных формул вида В: х у : ~у, х\—у\/ ~ У, ~хх\—у. Но что такое «частный случай формулы»? Неявно полагается, что формула а есть частный случай формулы b, если первая получается из второй подстановкой в элементарные высказывания, входящие во вторую. Однако, в Ss недоказуемы формулы вида В, и формулы вида А получаются не из них. И если формулы вида А не нравятся по каким-то соображениям, то эти соображения должны быть сформулированы независимо от формул В.

Разумеется, можно какие-то доказуемые в некоторой системе формулы отвергнуть по каким-то мотивам и строить более узкие исчисления. Однако, в этом случае придется просто перечислять исключаемые формулы или указывать их некоторые общие структурные признаки. Например, можно потребовать, чтобы были недоказуемы формулы вида а Н а : х, а\— а: х¹: ...: хп. Однако, во всех случаях такого рода нельзя сформулировать априорные требования, не зависящие от конкретной структуры формул. Отношения формул по длине здесь ничего не дают, а входить в конкретную структуру формул — значит отказаться от некоторого априорного (интуитивного) понятия логического следования^не зависящего от вида формул и исчислений, т. е. снять проблему вообще.

Формулы типа А — законная плата за дедуктивный метод и за полйоту охвата формул определенного вида в том или ином исчислении.

H 4, Общая теория дедукцйй

и интуиционистская логика

В интуиционистском пропозициональном исчйёлепйй Доказуемы формулы х (у я), х ~ х у), zd у, у zd х \/ ~хь порождающие парадоксы, аналогичные парадоксам материальной и строгой импликации. Но зато в нем недоказуемы формулы ~ ~ я о я и ^x\J V Так что при интерпретации его в качестве системы общей теории дедукции получается система с бесМыСлен* ным на уровне общей теории дедукции ограничением. Это не означает, что интуиционистские ограничения классической логики вообще лишены смысла. В дальнейшем мы будем постоянно рассматривать неклассические случаи, соответствующие этим идеям. Это означает лишь то, что на уровне общей теории дедукции интерпретация интуиционистского пропозиционального исчисления как системы следования дает неполную систему, да к тому же с парадоксальными следствиями.

§ 5. Неклассический случай

л на уровне общей теории дедукции

Различение классических и неклассических случаев в рамках общей теории дедукции лишено смысла, поскольку операторы ““| и ? могут стоять только перед операторами V, Я и (из тех, которые были указаны во введении). Перед операторами, рассматриваемыми в общей-теории дедукции (•, :, >/, —), они не могут стоять в силу самих правил построения высказываний такого типа. Однако, мы все же сформулируем добавление к системам общей теории дедукции, благодаря которому полученные системы можно рассматривать как системы для неклассических случаев. Обозначим их символами Sn, S™ и т. д. в зависимости от выбора *Ss, 5шит. д., к которым делается это дополнение.

Дополнение к определению высказывания: если х есть высказывание с главным оператором V, 3, «- или —>, не содержащее | и?, то ~“| х и суть высказывания, образованные из х путем помещения операторов соответственно и ? перед главным оператором х. Например, если х есть а <— Ь,то \х есть а | <— Ь, а ?х есть а? Ь; если х есть (Va) х, то “| х есть f“] Va) х, а ?х есть (?Va) х.

Дополнительные аксиомные схемы:

Лп1. ~x\—~\x\/*ix

Лп2.            —х '

Лп3. — ”~| я (— х\/ ? х

Лп4. х\/ ?ж|--”]я

Лп5. —

Лп6.

Главная семантическая интерпретация операторов “| и ?:

1) если одно их х и ~~\х имеет значение 1, то друг о имеет значение 0;

2) если одно из х и “| х имеет значение 0, то значение другого не зависит от первого (не исключается случай, когда оба они имеют значение 0);

3) 1х равнозначно

МТ 1. Все доказуемые в 8гп формулы суть тавтологии поскольку все Л? — л 8 суть тавтологии).

МТ2. Если х |— у доказуема в 5Д, то в у не входят элементарные высказывания, отсутствующие в х. Аналогично для *£„, Sn и Sn имеют силу соответствующие теоремы непарадоксальности. МТ2 очевидна из вида Л? — Л? ²¹1    ²¹ в»

Из МТ1 следует:

МТЗ. Формулы ~ П Н я и V недоказуемы в 8*п (поскольку не являются тавтологиями).

Недоказуемость формул х\— х и

в Szn соответствует недоказуемости законов снятия двои-йоГо оТрицайия й Ибйл1ойённо1'о третьего в ийтуиЦиоййЭД> ской логике.

Приведем некоторые интересные теоремные схемы 8гп-

Т1. х—1|--~~\х— ?х

Т2. х\--

ТЗ. х\— ~ ?х

Т4.      ] |—— х — ? ж

Т12. |--(~\х?х)

Т13. |--(х~~\х?х)

t14.h^V“I^V?^

Классический случай систем общей теории дедукции можно получить двумя путями: 1) просто исключить принятые в данном параграфе дополнения; 2) принять дополнительную аксиомную схему

Ап1 ~ х\— ~\ х.

Благодаря Ап7 будут доказуемы ~ х —| ”“| xf ~ я |— я, |и Другие формулы, делающие излишними оператор неопределенности и различение двух отрицаний.

§ 6. Классические и неклассические отношения высказываний

jDl. Будем говорить, что у¹, ут не расширяют числа возможностей по ж¹, ..., хп,'если и только если доказуема формула |— — (ж¹: ... :хп: у¹: ...:ут) или формула х¹:... ...: хп: г/¹:...            ••• где я1? ..., хк суть высказы

вания из множества высказываний х¹, ..., яп (1 <1 к п) или их отрицаний.

МТ1. Если г/¹, ..., ут (иг^> 1) не расширяют числа возможностей по ..., хп, то у¹, ..., ут, ут+1 точно также не расширяют числа возможностей по я¹, ..., хп.

Справедливость MTi видев ИЗ toМ, Ao еслй докаэу* ема ж¹:          ... :ут |— жх: ... :жк, то либо доказуема

ж¹: ... :жп:ух: ... :ym:ym+11— жх: ... :ж|» где 1 I Л, а «1, ..., ж} суть какие-то из ж^, ..., жк, либо доказуема |— л* (ж¹: ... :хп:у¹: ... :ym:ym+1), и если доказуема s— (ж¹: ... :хп:у¹‘.... :ут), то доказуема и (ж¹: ... :ж":ух!

... -Ут : ym+1).

ЛГТЗ. Каждое из ху, ~ ху, х ~ у, ж, у, ~ ж, ~ у не расширяет числа возможностей по ж и у.

Теорема верна, поскольку в S⁵ доказуемы формулы

ж:у :жу|—ж:у х:у :~жу|— х х •. у'.х — у у х\у:х\-у

ж:у:у|—ж х:у: — ж|--у

ж: у: — у.|—~ж

МТБ. Любая комбинация из ху, ~ху, ж ~'у, ж, у, ~ х и ~ у не расширяет числа возможностей по ж и у (следует из МТ1 и МТ2).

МТ4. Высказывание ~ ж ~ у расширяет число возможностей по ж и у.

. Теорема верна, поскольку в S⁶ недоказуемы формулы

ж:у:—ж — у|—ж:у, ж:у :~ж~у|—ж,

ж: у: ~ж—у |—У

I--(ж: у: ~ ж — у)

МТ5. Любая конъюнкция z из ж, у и их отрицаний не расширяет числа возможностей по, ж, у и —ж —у.

Доказательство МТБ. Пусть z есть ~х ~.у. В S6 доказуема ж:у: ~ж ~у: ~ж ~у |—ж : у. Пусть z отлично от — ж ~ у. В таком случае Л/Т5 верна в силу МТЗ и МП.

AfT6. Любая конъюнкция z из ж, у, ~ ж ~ j и из отрицаний не расширяет числа возможностей по ж, у и ~ ж ~ у.

Теорема Л4Т6 есть следствие МТБ.

Из МТ5 и МТ8 следует, что ~ х ~ у есть единственное расширение возможностей по х и- у и предельное (дальнейшее расширение исключено).

МТ7. Расширение числа возможностей по х и невозможно.

МТ8. Высказывание ~ х ~ х является единственным расширением числа возможностей по х и ~“\х.

2)2. Будем говорить, что высказывания хи у находятся в классическом отношении, если и только если доказуема \—х'.у.

2)3. Будем говорить, что высказывания х и у находятся в неклассическом отношении, если и только если доказуема х: у : ~ я ~ у, но недоказуема |— х:у,

МТ9. Высказывания х и ~ х находятся в классическом отношении, а высказывания х и —\ х — в неклассическом.

МТЮ. Классическому отношению высказываний соответствует одно и только одно неклассическое.

Таким образом, рассматриваемые нами неклассические случаи систем следования являются единственно возможными.

§ 7. Расширение общей теории дедукции

В дальнейшем мы будем излагать только те дополнения, которые должны быть сделаны к общей теории дедукции, чтобы получить соответствующий раздел.логики (подобно тому, как это сделано в § 5). В зависимости от того, какая система общей теории дедукции будет выбрана, получатся различные системы и варианты систем данного раздела логики.

§ 8. К семантической интерпретации

знака следования

Знак следования в формулах х |— у мы выше семантически интерпретировали так, что выполнялось утверждение: х |— у есть тавтология, если и только если х у есть тавтология. Это было сделано исключительно из «технических» соображений и для удобства сравнения наших логических систем с традиционными системами классической математической логики, а не как определение условий истинности высказываний о следовании.

Для наших целей была бы вполне достаточна такая интерпретация знака следования: х |— у имеет значение 1, если и только если приписав х значение 1 (у значение 0), мы вследствие этого вынуждены приписать у значение 1 (х значение 0). Однако и эта интерпретация не есть определение условий истинности х у. Последние определяются так: высказывание «Из х следует у» истинно, если и только если действительно имеется логическое правило (утверждение), согласно которому из х следует у. А так как в логике приходится устанавливать сами эти правила, то семантическая интерпретация знака следования может быть лишь «техническим» подсобным средством решения этой задачи, и не более того. Подробно вопрос о семантической стороне дела в проблеме следования рассмотрен в работах [3, 8].

§ 9. К полноте логических систем

Мы выше определили полноту систем общей теории дедукции относительно определенных классов формул х р- у (эти формулы' суть тавтологии в принятой интерпретации и удовлетворяют определенному ограничению на соотношения элементарных высказываний, входящих в х и у). Однако эта полнота является в некотором роде избыточной: в наших системах доказуемые некоторые формулы, которые бесполезны с точки зрения использования правил следования (таковы, например, формулы, указанные в § 3). Поэтому полезно сформулировать другое (более узкое) понятие полноты, подобно тому, как это сделано Е. А. Сидоренко (см. § 6 третьей главы).

Введем следующую операцию замены отрицаний высказываний. Если в х |— у высказывание х есть противоречие или у ест^ тавтология (или и то и другое), то из х |— у получается формула х* s— у* следующим образом:

1) все вхождения вида а¹: ... :ап в х у заменяются на Ь¹: ... :ЬП, где каждоеbl (i = 1, ..., и) есть конъюнкция а* и отрицаний всех остальных из а¹, ..., ап;

2) все вхождения вида ~ ~ с заменяются на с до тех пор, пока не останется высказывание без отрицания вообще или только с одним отрицанием;

3) если в полученной формуле х* (—• у* в х* или в у* входит z без отрицания и с отрицанием, то ~z везде заменяется на высказывание и, которое не входит в х* у*';

4) сказанное в пункте 3 делается для всех пар высказываний и их отрицаний, входящих в х* или у*; полученная формула есть я** НЛ

Системы общей теории дедукции можно считать достаточно полными, если в них доказуемы все непарадоксальные тавтологии х\— у такие, что формулы 2** полученные в результате рассмотренной операции замены отрицаний высказываний, доказуемы в соответствующих системах. С этой точки зрения система S% не является полной, поскольку в ней недоказуема формула (х \/ у) * — х Н У, к которой наша операция замены неприменима (ибо (х V У) ~ х не есть противоречие, а у не есть тавтология).

Благодаря приведенной операции замены рассматриваются только такие х\— у, в которых х может принять значение 1, а у — значение 0. Так что приведенная в § 8 интерпретация оказывается вполне достаточной.

Мы не настаиваем на таком сужении наших систем, чтобы в них были доказуемы только формулы, отвечающие третьему условию (т. е. чтобы в них не были доказуемы формулы, не отвечающие третьему условию), хотя и не исключаем его. Если та или иная система полна в таком более узком смысле, то она дает исчерпывающее определение операторов, рассматриваемых в данном разделе логики.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

УСЛОВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

§ 1. Условные высказывания

s Системы, образующие теорию условных высказываний получаются благодаря таким дополнениям к системам общей теории дедукции.

Дополнение к алфавиту:

1) -» — высказываниеобразующий оператор «если, то» (оператор условности);

2)   — внутреннее отрицание;

3) ? —j оператор неопределенности.

Di. Дополнение к определению высказывания (я->у),         у) и (я?у) суть высказывания, если

и только если хи у суть высказывания.

D2. Высказывания х и у суть соответственно антецедент и консеквент высказываний (х —> у), (х —>у)и (ж?    у).

D2. Элементарное высказывание в теории условных высказываний:

1) если оператор условности не входит в высказывания

х и у, то эти высказывания суть элементарные высказывания, входящие в (х у), (х у), (х?   у);

2) если (х -> у), (х “| у) или (я? -> у) входит в z, то элементарные высказывания, входящие в х и у, суть элементарные высказывания, входящие в z;

3) высказывание элементарно лишь в силу 1 и 2.

Дополнительные экономные схемы и правила вывода укажем ниже. Системы теории условных высказываний рассматривались в [3—5].

8 2. Условйые высказывания й ёледоваййё

Высказывания «Если я, то у» обычно смешивают с высказываниями «Из х следует у». Это смешение — грубая ошибка: высказывание «Если я, То у» состоит из высказывании х и у и высказываниеобразующего оператора, тогда как высказывание «Из х следует у» состоит из субъектов «высказывание х» и «высказывание у» и предиката «из первого следует второе».

Имеется еще одно принципиальное их различие. Вопрос о том, когда истинны высказывания вида «Из х следует у» есть вопрос, решаемый в рамках логики и только логики. Установление этого есть главная задача логики. Тогда как вопрос о том, когда истинны высказывания вида «Если х, то у», лишь частично решается в логике, да и то как производный от первого, т. е. лишь в силу принципа: если верно, что из х следует у, то верно «Если х, то у». В остальных случаях, когда высказывания «Если х, то у» получаются не из отношений следования, логика совер? шенно не компетентна судить об их истинности. И не во всех случаях, когда истинно «Если то у» будет истинно «Из х следует у».

Известны многочисленные случаи, когда условное высказывание является истинным, а антецедент и консеквент его не содержат никаких одинаковых терминов и высказываний.

§ 3. Условные высказывания

и материальная импликация

Оператор условности обычно отождествляют с оператором материальной импликации. Это отождествление точно так же ошибочно, на что указывали многие логики (в частности, Айдукевич). Этот вопрос рассматривался в [3, 81. Добавим еще несколько примеров, наглядно иллюстрирующих ошибочность такого отождествления.

Для оператора материальной импликации имеют силу утверждения:

ху (х => у),    ~х~у[—(я^>У)»  ~ху[— (х:эу)

~(»~У)Н(®=>У). ~(х=>у)|—х — у, ~»\/У|—(Ж=?У)-Эти утверждения суть тавтологии и в силу полноты S3 доказуемы в ней. Но аналогичные утверждения для оператора условности

ху\~ (®~*У). ~х —у|— (х->у), —-ху>-(х-»у) —'(х ’у)| (х —>у), ~(х^у)Нж~У. ~ А/УНС^У)

ошибочны. Если мы в какой-то ситуации установили истинность хну, это еще не дает нам права принимать за истинное у всякий раз, когда истинно х (т. е. это не исключает Ситуации, когда истинны# и ~ у). Аналогично для случаев ~ х ~ у, ~ ху, ~ (х ~ у) и ~ х V У- Отрицание х -> у означает, что признание х не дает нам права на признание у. Но из отрицания этого права не следует, что неверно х ~у.

Для материальной импликации верно утверждение

(ху ZD 2 V у) Н (я z) V (У => у), являющееся тавтологией и доказуемое в 5s. Но аналогичное утверждение для оператора условности

(ху-> Z V V) Н (®-* 2) V (у “* Р)

ошибочно: возможно верно ху z или #у -> v, но неверны оба # -» 2 и у -» v. В частности, для наступления событий, фиксируемых в 2 и у, нужны оба события, фиксируемые в х и у, а по отдельности они для этого недостаточны. Или возможно, что 2 и у следуют только из ху, а из х и у по отдельности нет. Так, в Ss доказуемо ху |— у V я, и значит истинно ху у \/ х; но в S⁸ недоказуемы х\— у и у |— х, т. е. оба х -> у и у -> х могут оказаться ложными.

Для материальной импликации верно утверждение

(ху ZD 2) |— (# Ю 2) \/ (у ZD 2),

являющееся тавтологией и доказуемое в *$*. Аналогичное утверждение для условных высказываний

(ху -> 2) Н (х г> ъ) \г\у -> 2)

ошибочно: например, высказывание ху -»a:r/ истинно, & хху к у ху могут быть ложными. И такого рода примеры можно приводить сколько угодно.

Отождествление х~+ у ъх о у явилось следствием того (если не принимать во внимание увлечение идеями и другие социально-психологические обстоятельства), что в математике, для которой в основном и разрабатывалась математическая логика, антецеденты и консеквенты условных высказываний универсальны, т. е. не изменяют значений истинности в зависимости от условий, места и времени. Кроме того, в математике условные высказывания принимаются исключительно из отношений следования, и приведение примеров такого рода, как выше, априори исключается. Короче говоря, при этом из класса условных высказываний выделяются только такие, которые в силу самой априорной установки (способа выбора) можно рассматривать как материальные импликации. Но употребляемые в науке (и вне ее) условные высказывания часто содержат антецеденты и консеквенты, значения истинности которых зависят от условий, места и времени. И получаются эти высказывания не из отношений следования, а из наблюдений и экспериментов или просто постулируются ради каких-то целей (например, для того, чтобы можно было логически вывести какие-то иные высказывания).

Мы не отвергаем сходства х -> у и х о у, В частности, для них имеют силу сходные утверждения

(х=>у)х\-у,           (х-+у)х\-у

(х^> у)~у\--X,      (х-+у)~у |--X

(х:эу)\-(~у:э~х),   (х-+у)  (~ у -> — «)

Н (жг/ — (ж  — у),   \-(ху^~(х^~у) ft Ф. n. Кроме ФоФо, йеЖДУ ййМя ймёеФ Мёёто лоФиЙеёйай связь, устанавливаемая утверждениями

|-(

|--

Однако, это не отвергает Следующее принципиально важное утверждение: не всякому приемлемому утвержде-ниюя[-- у, содержащему оператор zd , сдответствует приемлемое утверждение и |— t?, получающееся из х[— у путем замены оператора id на оператор —> по крайней мере в одном месте. Это — априорная предпосылка построения теории условных высказываний.

§ 4. Интерпретация

Отступим от принятого выше порядка изложения и сформулируем сначала семантическую интерпретацию высказываний с оператором условности.

Условным высказываниям значения приписываются по таким правилам:

1) если приписали х-+у значение 1 и при этом приписали х значение 1, то должны приписать у значение 1;

2) если приписали х у значение 1 и при этом приписали у значение 0, то должны приписать х значение 0;

3) если приписали х —> у значение 0 и при этом приписали х значение 1, то значение у не зависит от значения т. е. имеем право приписать у как значение 1, так и значение 0 (если значение у уже не задано), и оба случая должны z быть рассмотрены;

4) если приписали х у значение 0 и при этом приписали у значение 0, то значение х не зависит от значения у\

5) если приписали х значение 1 и вследствие этого вынуждены приписать у значение 1, то должны приписать х-*£у значение 1;

6) если приписали у значение 0 и вследствие этого вынуждены приписать я значение 0, то должны приписать * х -> у значение 1;

7) если приписали х значение 1, и это не обязывает нас приписывать у значение 1 (т. е. мы можем при этом приписать у значение 1 и 0), то можем приписать х-+у значение 0;

8) если приписали у значение 0, и это не обязывает нас приписывать х значение 0, то можем х -> у приписать .значение 0;

9) если х приписали значение 0 (или у приписали зна

чение 1), то значение х-+у не зависит от значения х (и, соответственно, у);             -

10) если одно из х-+ у и х~\-+ у имеет значение 1, то другое имеет значение 0;

11) если одно из2-»уи2^-»у имеет значение 0, то значение другого не зависит от значения первого (т. е. другое может принять как значение 1, так и значение 0):

. 12) х? у равнозначно ~ (х -> у) ~ (х | -> у).

Рассмотрим несколько примеров использования приведенных семантических правил. Возьмем формулу z |— (х z). Приписав z значение 1, мы тем самым не определяем значение х z: последнее при этом может иметь значение 0 согласно пункту 9; кроме того, здесь z получает значение 1 не вследствие того, что х приписано значение 1* В высказывании же ху х консеквент принимает значение 1, если антецедент принимает значение 1, и это высказывание согласно пункту 5 имеет значение 1. В формуле (х-+у) (г/ -> z) j— (х z) мы, приписав (х -» у), (у -» z) и х значение 1, вынуждены приписать и z значение 1, так что должны и х —>• z приписать значение 1.

Можно показать, что приведенные во втором параграфе неприемлемые формулы с условными высказываниями не являются тавтологиями. Так, припишем в формуле (ху z) (х z) V (r/ -» z) высказыванию ху z значение 1. Согласно пункту 2 мы должны приписать ху значение 0, приписав 2 значение 0. Но, приписав z значение О, мы не обязаны вследствие этого приписывать х значение О, так как ху может иметь значение 0 за счет того, что значение 0 имеет у. Потому х -> z можем приписать значение 0. Аналогичное рассуждение имеет силу для у -> z. Так что (х -> z) \/ (у 2) может иметь значение 0 в то время, как (ху -> z) имеет значение 1.

Аналогично обстоит дело с формулой (x-+y\/z)\— |— > у) V "*■ ²)> которая на первый взгляд кажется приемлемой. Приписав х и х —> у \/ z значение 1, мы должны приписать у \/ z значение 1. Но это не означает, что мы непременно у должны приписать значение 1. Потому х-+у может иметь значение 0. Это также не означает, что мы должны непременно z приписать значение 1. Потому х -> z может иметь значение 0. Значит данная формула не есть тавтология. Это соответствует тому, что оба х -> у и х -> 2 могут быть ложными, а х у \/ z при этом может быть истинным. В частности, если х, то какая-то из возможностей у и 2 непременно реализуется. Но какая именно, по х судить невозможно. Для материальной импликации формула, аналогичная рассматриваемой, есть тавтология.

¹

4. Система

²

Система S₂ ослабленного следования получается из так же, как S² из S¹ (дополнительная экономная схема будет иметь номер 412). Система S₂ сформулирована в [4, 5].

Принятая интерпретация условной импликации отличается от табличного определения материальной импликации. В самом деле, х -> у может иметь значение 0 в случаях, когда х имеет значение 1 и у имеет значение 1, а также в случаях, когда х имеет значение 0 и у имеет значение 1. Единственное, в чем они сходны, если рассматривать исключительно зависимость значения х -+■ у от значений х и ?/, это случай, когда х имеет значение 1, а у — значение 0. В этом случае х —> у принимает значение 0.

Таким образом, не всякому х zd у, имеющему значение 1, соответствует х -> у, имеющее значение 1. Другими словами, из этого, что х о у истинно (имеет значение 1), не следует, что ху истинно (имеет значение 1). Но если истинно х —> у, то истинно х zd у.

§ 5. Классический и неклассический случаи

Системы для неклассического случая содержат следующие аксиомные схемы:

Ап1. (х-+у) |--(«"I-*!/) —(«?-»!/)

Ап2. ~ (х~~\-> у) ~ (х? ->у)\- (х-> У) Лп3. (х~|->у)| (х-+у)~(х?~+у) Ап4. ~ (х-+у) ~ (ж?->1/) |— (ж~]^J/) А”5. (х?->г/)|--(ж-->г/)~(а: —|->у)

4П6. ~ (х —> г/) — (ж И —> г/) (ж? —> г/)

Системы для классического случая получаются либо путем исключения Ап 1 — Лп 6, исключения из алфавита операторов внутреннего отрицания и неопределенности и исключения из O1—O3 первого параграфа символов с этими операторами, либо путем принятия дополнительной экономной схемы:

Ап1. ~(х-+у)\-(х—]-+у)

МП. В системе, полученной за счет присоединения Ап1 —- Ап7 к S⁵, будет доказуема формула |— (s? у). В этой системе будет доказуема также ~ (х “П У) Н Н £/)•

Л7Т2. Легко убедиться, что все формулы, указанные ■в Ап 1 — Ап6, суть тавтологии и непарадоксальны в том смысле, что множества элементарных высказываний, входящих в посылки и заключения, совпадают.

МТЗ. Формулы ~ у) |— (х у) тавтологией не является и потому недоказуема в системах, полученных путем добавления к системам общей теории дедукции экономных схем Ап 1 — Ап 6. Аналогично не является тавтологией (а значит недоказуема) ~ (х -> у) (х ”“| -> у).

Другой вариант систем неклассической логики, эквивалентный изложенному выше, получится, если вместо Ап 5 и Ап 6 принять D* 1, вместо Ап 1 — Ап 4 принять акси-омные схемы 4* 1 — А*4, из алфавита и определений исключить оператор неопределенности и все символы, содержащие его.

D* 1. (ж?—> у) есть сокращения для •— (ж—> у) — (ж | ^>у). 4’1. ~(ж->у)|-(ж—|-»у) \/~(ж->у) — (ж~|-»у) 4’2. (ж~]-^у)|--(-r-»r/)

4’3.   ■ (ж | > у) | (ж > у) \/ — (ж у) ~ (ж у)

4’4. (ж->у)|-~(ж—|^г/)

§ 6. Система

Дополнительные аксиомные схемы:

41. (ж> у) ж | у

42. (ж > у) | ( у > - ж)

43. (ж->у)(уг>г)|—(ж->г)

44. (ж->уз)[— (ж-^-у)(ж->2)

45. (жу —> z) |— (ж —> (у —> z)

46. (ж->(у—>z))|— (жу->г)

47. (ж->у)(г->1>)|— (жг->уи)

48. (ж->у)\/(г->г>)|— (#z->y V »)

ДОТ1. Все доказуемые в 5;/ формулы суть тавтологии (теорема легко доказывается путем перебора всех аксиом-ных схем 41 — 48).

МТ2. Если ж |— у доказуема в Sy, то в у не входят элементарные высказывания, отсутствующие в ж (теорема верна, поскольку 41 — 48 явно ей удовлетворяют).

МТЗ. Если ж |— у доказуема в Sy и в у входит оператор условности, то он входит и в ж (теорема очевидна из .вида 41 — 49).

Согласно МТЗ в Sy не может быть доказуема формула вида ж |— (у ->■ z), в которой в ж отсутствует оператор условности.

Приведем некоторые теоремные схемы (в квадратных скобках укажем лишь аксиомные и теоремные схемы Slf, позволяющие получить данную теоремную схему).

Т1. (ж-»у)(уг —>р)|— (xz-+v\         [45, АЗ, 46]

Т2. (ж->у\Д²) (z-*i>)[— (ж-»у\/ v) [42, Tl, А2] ТЗ. (x\/y-^z)(y-^x)\-(v\/y-^z)

[А2, 44, АЗ, А7, А2] Т4. (ж->у)~г/|—[А2, 41] Т5. (ж—>у\/z) — у|—(ж—>z)      [42, 45, Al, А2]

Тб. (ху z) х (— (у —> z)                      [АЗ, А1]

Т7. (ж\/ у—> z) [— (ж—>z) (y->z)        [42, 44, 42]

Т8. (x^z)(y->z)\-(x\/y-+z)       [42, 47, 42]

T9, (жг->у\/z)|— (—у—>(ж->г)) [42, 45, 43, 42] Т10. (— у -> (ж-^z)) [- (ж-> (у V z))     [42, 46, 42]

Til. (L->r/)(v-»z)[— (х\/ v->y\/ z) [42, 47, 42]

§ 7. Система 8%

Система образуется путем дополнения к Sy акси-омной схемы

49. («->?)Н(жг-> у).

МТ1. Если ж |— у доказуема в 8у, то в ж и у входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание (теорема очевидна из вида 49).

МТ2. Если ж |— у доказуема в что она есть тавтология (поскольку 49 есть, очевидно, тавтология).

Т1. (ж-»у)|— (ж->у V²)              [42, 49, 42]

§ 8. Система 8⁵^

Система 8⁶у получается путем добавления к S*f правила: Я1. Если ж [— у, то |— (ж -> у).

MT1. Если [— (x -> у) доказуема, то она есть тавтология (очевидно в силу Д1),

МТ2, Если s— (х-> у) доказуема, то х о у есть тав* тология.

МТЗ. Если [— (х -> у) и |—х доказуемы, то |— г/ до» казуемо. ⁵

Доказательство МТЗ: (х -> у) з> |— у доказуема; в силу R1 доказуема                  доказуема ((я -> г/) х—►

-» r/) ((ж у) х) |— у; по условию доказуемы (х -> ?/) и |-х; значит доказуемо * [— ((я -> у) л: -> z/) (а: -> r/) ж; отсюда получаем, что доказуемо у.

МТ4. Если |— (ж —г/) и |— >—' доказуемы, то доказуемо j——х. Доказательство аналогично. Дополняется лишь то, что согласно А2 системы,Slf доказуема [— (~у -> ~ я)е

Некоторые теоремные схемы:

Ti. f— ((ж —> у) —► (жг -* у))

Т2. |— (ж —    _ (ж у))

ТЗ. ^-((ж-»у)-> —(ж^-у))

Т4.   ((жу->г)(ж~у^>-г)->(ж->г))

" Т5.   (у->~ж\/ж)

Тб. >-(—уу-»ж)

Т7. |-(ж->(у-*ж))

Т8. Н(ж->(~ж->у))

T9. I— ((ж: у) —* (ж-* — у) (— ж->у))

Т10.        —у)(—§->у)-»(ж:у))

Т11. |— ((ж V У) —* (—   > У) (— У —* л:))

Т12.' |—((~ ж“* У)   (ж V У))

Т13. I-(ж->ж\/у)

Т14. |-((ж^>у)(ж->~у)->~ж)

Т15. (ж -> у) (у -> z) (ж -> z)

^I/T5. s— (ж у) доказуема в g⁶, то J— (ж ->■ у) доказуема в <§?/.

Доказательство МТ5. Для «каждой аксиомной схемы х [— у системы S⁸ в Sy доказуема |— (х -> у). Поскольку в Sy верна Т13, то каждой аксиомной схеме х |— у системы Sw будет соответствовать доказуемая в Sy формула Н (х-> у). А так как в доказуема формула Т15, соответствующая правилу ^транзитивности системы Sw без ограничения, то (в силу эквивалентности Sw с правилом транзитивности без ограничения классическому исчислению высказываний) наша теорема верна.

МТ6. Если хну суть высказывания в S⁵ и если Н (ж "*• Z/) доказуема в то (я у) доказуема в (теорема верна в силу Д1 и МТ 115).

Если х доказуема в Sip то в S⁵ доказуема U, где у образуется из х путем замены всех вхождений оператора условности на оператор материальной импликации.

Однако утверждение «Если в Sy доказуема -» U), то в S⁵ доказуема j— (a и) у)» неверно. Например, в Sff доказуема [— (х -> у) (у -> z) -> (а: z), тогда как в S⁵

(ж у) (у -» z) И) (я z) недоказуема. Неверно также утверждение, обратное МТ1. Например, |— {(ху И) zd z V у) ²³ ((# => z) V (# ²³ "))) доказуема в 5⁵, но |— ((хуz V у) -*■ ((#   2) v (r/ -> z))), конечно, недока

зуема В Sy.

§ 9. Система Sl*f

Система Sy получается путем присоединения к S5 аксиомных схем А1 — АЗ и правила R1:

А1.

А2.

АЗ.

R1.

(х~*у)х\_у (х^у)~у\-~х

I- ((*У ->2)->(^->(r/-> 2))) Если х\— у, то |—(#—>*/).

В 5i*имеют силу теоремные схемы:

Т1. }-((х->у)х->у)

Т2. |— ((л; —> т/) —> (~    ~

ТЗ. I- ((2      -> (r -> у) (§ -> 2))

Т4. \-((xy^z)-^(x-^(y^z))\

Т5. Н ((* -* (У 2)) -> (ху z))

Тб. ^-((rv->N)(2->v)-> (a:2->yv))

Г7.    ((a: -> r/) V (2 -> v) UV ^))

Т8. [-((x^y)(y^z)-^(x->z))

МТ1. Если |—*(#-> у) доказуема в S#, то она доказуема в SXfi и наоборот (теорема верна, поскольку в STf имеют силу Т1 — Т8, а в S\f доказуемы А1 и АЗ).

§ 10. Парадоксы Slf

Очевидно, что для (— (х у) имеют силу «парадоксы», подобные парадоксам материальной и строгой импликации, поскольку ^доказуемы формулы |— (х -> (у -> х)), Н (я-* (~*->-y)),. Н V ~У)> Н Чтобы избежать их, необходимо из доказуемых формул исключить формулы вида

(xy^z)\-(x-+(y~*z)

Н ((ху -> Z)   (х -> (у -> Z))

(при сохранении остальных элементов систем §i/), или внести другие ограничения. Но это принципиально ничего не меняет.

В самом деле, интуитивно несомненно, что если ху ~^z и при этом у истинно, то х —> z. Так что исключив упомянутые парадоксы из логической системы, мы не в состоянии будем исключить их из ситуаций, в которых правила этой системы будут использоваться^

Для исключения указанных формул достаточно акси-омную схему Л 5 системы Sy заменить на аксиомную схему Л*5, а аксиомную схему АЗ системы Sy зам енить на аксиомную схему Л*3:

Л *5. (;xy^z)|—(z-->(y-->z)),

где |— (х z) и [— (у -> z) недоказуемы в Sy.

Л*3. ^((Xy-^z)^(x-^(y->z)))t               , ч

где |— (х -> z) и (у -> z) недоказуемы в

Можно также аксиомным схемам Л*5 и Л*3 придать такой вид:

Л*5. (ху —> z) ~ (ж —> z) ■— (у —► z) |— (х —> (у —> z))

ЛФ3,. Н ((яу -> z) ~ (х -> z) — (у > 2)*—> (ж > (у > z))).

Для систем с приведенным ограничением неверна теорема, аналогичная теореме МТ5 для Sy. Все доказуемые в них формулы |— (дт —>• г/) непарадоксальны в том же смысле, что и формулы систем общей теории дедукции.

§ 11. Полнота

Проблема полноты для формул вида (я->у) решается метатеоремами, Сформулированными выше.

Те критерии полноты, которые мы применяли к системам общей теории дедукции для формул вида х |— у, недостаточны для теорий условных высказываний вот по какой причине. Возьмем формулу (ху z) |— (ху у). В ней высказывание ху -> у всегда имеет значение 1, так что эта формула есть тавтология. Причем, она удовлетворяет требованию непарадоксальности в следующем смысле: в заключение не входят элементарные высказывания, отсутствующие в посылке. Однако такая формула в качестве правила следования неприемлема: если верно ху 2, из этого не следует, что будет верно высказывание,

в котором вместо z стоит другой консеквент. И то, что ху-+у истинно, есть частный случай, в котором истинность заключения установлена не путем логического следования его из ху —> z. Неприемлемы также в качестве правил следования формулы вида (nr/ ~ х ~ у) |— (у х\ (z->x — 5) [—        и т. п., которые являются тавто

логиями и непарадоксальны в упомянутом смысле. Поэтому мы при построении систем теории условных высказываний ориентировались на более узкое понятие полноты.

Логическая теория строится с таким расчетом, чтобы дать исчерпывающий перечень правил оперирования данными логическими операторами. И если мы такой перечень нашли, это еще не означает, что свойства этих операторов вообще исчерпаны. Возможно введение нового оператора, и для комбинаций его с данными операторами потребуется новый перечень правил и т. д. Мы уже рассмотрели операторы, правила для которых образуют общую теорию дедукции. И вопрос о полноте теории условных высказываний может быть здесь решен лишь для комбинат ций этих операторов и оператора условности. Определим для этой цели базисную формулу следования.

Di. Формула х |— у является базисной формулой теории условных высказываний, если и только если она имеет такой вид:

1. (а—>Ъ)с\— d                 11. (ab-»e)j— 2

2.                                      12.

3. (a-»b) (c-»ch (ae-^bch 13. (а\/ b —> c) |— £

4. (a-> Ь) (e-> Й) [— (a\/ c->bd) 14. (a —>b\J cj[-z

5. (a-^b)(c->d)H(ac->&Vd) 15. (ab^cd)\-z

6. (a—>&) (e—>d)|—             16. (ab->c\/d)|— z

7. (a-»b)^/                     17. (а\/ b —>cd)|— z

8. (a->b)V(c->d)|--(a\/c->bd) 18. (a\/b-+c\/d) |— z,

9. (a^b)V (c^d)\~(ac^b\/d)

10. (a-> Ь) V (c-»ch H (a V        )

где a, b, e, d, s, / суть элементарные высказывания или отрицания элементарных высказываний, a z суть высказывания, образованные из a, b, с, d, их отрицаний и операторов •, V»

D2. Теорию условных высказываний мы будем считать достаточно полной, если и только если выполняются условия:

1) все ^базисные формулы х |—• у, являющиеся тавтологиями и непарадоксальные, доказуемы;

2) все формулы жру, образующиеся из базисных путем подстановки любых высказываний на место элементарных, доказуемы.

Пункт второй выполняется в силу того, что мы используем аксиомные схемы. Распространить правила для базисных формул на любое число членов дизъюнкций и конъюнкций M представляет труда. Отрицания в антецедентах и консеквентах высказываний х -> у всегда могут быть доведены до элементарных высказываний. Так что остается выяснить, удовлетворяют наши системы пункту 1 определения D2 или нет. Мы не будем приводить здесь доказательство того, что наши системы полны в смысле /)2. Оно осуществляется путем пересмотра всех случаев (что довольно громоздко, хотя и не представляет принципиальных трудностей), выяснения непарадоксальных тавтологий и доказательства их.

Указанный метод не отличается таким изяществом, каким обладают, методы доказательства полноты систем классической логики. Но он вполне правомерен и даже оказывается незаменимым, стоит только перейти от того крайне упрощенного подхода к проблемам логики, какой имел место в классической математической логике, к более детальному и дифференцированному подходу.

4 Л. А. Зиновьев

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

ТЕОРИЯ КВАНТОРОВ

§ 1. Высказывания с кванторами

Системы теории кванторов комплексной логики рассматривались в [4, 51. Они образуются благодаря излагаемым ниже дополнениям к системам общей теории дедук ции и модификациям их.

По некоторым соображениям рассмотрение систем теории кванторов удобнее начать с классического случая, а неклассический случай затем получить путем дополнений к алфавиту, определениям и прочим элементам теории кванторов, а также некоторых их изменений.

Алфавит:

1) V — квантор общности («все»);

2) SE — квантор существования ^«некоторые»);

3)  --оператор предикативности.

2)1. Элементарное высказывание: (ач-ft) есть элементарное высказывание, если и только если а есть субъект, а Ъ есть соответственно местный предикат.

2)2. Высказывание:

1) элементарное высказывание есть высказывание;

2) если хх, ...,jrn суть высказывания, то ~ х, (ж¹* ...

... *яп) и (a^V V*n) оуть высказывания;

3) если а есть термин (субъект или предикат), а х есть высказывание, то (Va) х и (Яа)х суть высказывания;

4) нечто есть высказывание лишь в силу 1—3.

2)3. Кванторная группа: (Va) и (51а) суть кванторные группы, если а есть термин.

jD4. Свободные и связанные термины: если термин а входит в высказывание х, а кванторные группы (Va) . и (Яа) не входят в х, то а свободен в х (не связан в х; входит свободно в х); если а входит в х, то а связан (не свободен; входит связанно) в (Va)n и (Яа)я.

jD5. Свободное и связанное вхождение термина в высказывание: если а связан в х, то все вхождения а в х суть связанные вхождения; если х входит в у, и при этом а связан в х, то вхождение а в х есть связанное вхождение а в у; в остальных случаях вхождение а в у является свободным.

Z)6. Кванторная группа (Ка) является вырожденной в (Ка) х, если и только если в х нет свободных вхождений а (или а не входит свободно в я); К есть V или Я.

D7. Бескванторная форма формулы х\—у (формулы х) есть формула, которая образуется из нее путем исключения всех кванторных групп.

§ 2. Система Scq

Система Sscq сильной теории кванторов для классического случая получается путем добавления к Ss того, что приведено в § 1, и следующих экономных схем и правил вывода.

Аксиомные схемы

А1. (¥а)ж|— х

А2. я|—(Яа)х

АЗ. (Уа)ж(^а)у(7-(Яа)(жу)

А4. (Va)(«V»)H(Ve)«VW»

А 5. (Яa)x[-(Va)x,

где а не выходит свободно в х.

А6. (уа)ж|--(Яа)~я

А7. —(Я а) — х\■—(Va)#

Правила вывода:

Ri. Если х\— у, то (Va)#|— (Va)y.

R2. Если х\—у. то (Яа)я|— (Яа)у.

Непротиворечивость, независимость и отчасти проблема полноты Sscq рассмотрены в работе Г. М. Щегольковой [16].

§ 3. Непарадоксальность Sscq

МТ1. Система Sscq непарадоксальна в том же смысле, что и S⁸: в доказуемых формулах х |— у в заключение у не входят элементарные (в смысле теории кванторов) высказывания, отсутствующие в посылке х. Теорема очевидна из вида дополнительных экономных схем и правил: в экономных схемах в заключения и посылки входят одни и те же высказывания, если отбросить кванторные группы и отрицания и исключить повторения; правила вывода это свойство сохраняют.

МТ2. Формулы.

(Va) (а <-&)[— (е<-6)

(c^b)^(SL)(L<-b)

и другие формулы х |— у, в которых в заключение входят термины, отсутствующие в посылке, недоказуемы в Sscq (следствие MTi).

МТЗ. Если х |— у доказуема в Sсд, то ее бескванторная форма доказуема в S⁸ (теорема очевидна из вида бескванторных форм аксиом и получаемых из них бескванторных формул по правилам вывода).

§ 4. Непротиворечивость S³eq

Для доказательства непротиворечивости достаточно показать, что бескванторные формы доказуемых формул S⁸cq доказуемы в S⁸ (т. е. суть тавтологии). А это действительно так, поскольку бескванторные формы аксиом имеют вид соответственно

х\— х        х\—х

х\—х       х\— — — х

ХУ\~ХУ      —~ х х,

хУу 1~х\/у

а правила вывода из бескванторных формул х\— у позволяют получить только сами эти формулы.

; § 5. Независимость Scq

Для доказательства независимости экономных схем, правил вывода Sscq примем исключающие семантические правила и общее семантическое правило (в каждом случае сначала применяется первое, затем — второе).

Для Л1: если в х у термин а в у входит свободно, а в а нет, то х\— у имеет значение 0. При этом формула (Va) (а <— Ъ) |— (а Ъ) имеет значение 0.

Для Л2: если в х\— у термин а в х входит свободно, а в у нет, то х\— у имеет значение 0. При этом формула (а <— Ъ) |— (Яа) (а Ь) имеет значение 0.

Для ЛЗ: (Vs) 2 заменяется на (Яа) х; е$ли а входит свободно в х, то х заменяется на (Яа) х\ если ~ входит во все аксиомы данной экономной схемы,, то (Яа) ~ х заменяется на ~ (Яа) х.

Для А4: (Яа)х заменяется на (Va)a:; если а входит свободно в х, то х заменяется на (Va) если — входит во все аксиомы данной экономной схемы, то (Яа) ~ х заменяется на ~ (Va) х.

Для Л5: отбрасывается ограничение на вхождение a в х.

Для Л6: если (ЯЬ) —'2 имеет значение 1, то (V6)z имеет значение 1.

Для Л7: если (ЯЬ)~2 имеет значение 0, то (V-) 2 имеет значение 0.

Для jRI : если (V b) zv имеет значение 1, и при этом в z входит термин, отсутствующий в v, то (Vb) z имеет значение 0. С помощью R1 доказуема формула (Vb) (zv) |т- (Vb) z, принимающая значение 0, если z есть (#<- с), a v есть (Ъ <— d).

Для 2?2: если (ЛЬ) (zv) имеет значение 1, и при этом z содержит термин, отсутствующий в v, то (ЯЬ) z имеет значение 0. С помощью R2 доказуема формула (ЯЬ) (zv) |— (ЯЬ) z, принимающая значение 0, если z есть (Ъ <— с), a v есть (b <— d).

Общее семантическое правило: все прочие формулы, к которым неприменимо исключающее семантическое правило, равнозначны своим бескванторным формам.

§ 6. Некоторые следствия

В дальнейшем будем делать ссылки только на экономные схемы, правила вывода, теоремные схемы и метатеоремы Sscq. Что касается соответствующих элементов общей теории дедукции, то будем ограничиваться лишь ссылкой на систему (в данном случае — на Ss) или вообще будем их опускать как тривиальные.

МТ1. Если х [— yz и z |— v доказуемы, то х [— yv доказуема (в силу Ss); если ху |— z и v |— х доказуемы, то

— z доказуема (в силу Ss).

МТ2. Если х [— у доказуема в Sscq, и множества элементарных высказываний, входящих в х и у, совпадают, то ~ у ~ х доказуема в Keg-

Доказательство МТ2. В имеют силу следующие теоремные схемы:

71. —(Уа)я|— (Яа) — х

[46, 47]

[46, 47]

[42, 72]

[46, 47, АН

72. (Яа)я[—~(Va)— х

73. —яр--(¥а)я

74. <**(Яа)л:[— ~я

T5. — (Йа) (ху)|--((Уа)х(Йа)у) [4.4, 46, 47, 74, Т2]

7*6. — ((Va) а? \/ (Яа) у) |--(Va)(a?VlO

[43,46,47, Т1,Т2]

f 7. — (Va) х |--(Яа)х,

где а не входит свободно в х [45, 74, 7’2, 46, 47]

7’8.              --(¥а)ж                (46,47]

7’9. —(Va)x|---(Яа)— х               [46,47]

В Scq имеют силу также следующие утверждения, ко-торые можно рассматривать как производные правила вывода:

МТ* 1. Если х\— у доказуема в Sscq, и при этом множества элементарных высказываний, входящих в х и у, совпадают, то ~ (Va) у |— ~ (Va) х доказуема в Sscq-

МТ* 2. Если х у доказуема в Sscq,' то при этом же условии, что и в МТ*1, доказуема и ~ (За) |— — (За) х.

Справедливость МТ* 1 видна из следующего: если х\—у такова, как сказано в МТ* 1, то согласно ТЗ— T9 доказуема ~ у [— ~ х; по правилу R2 доказуема (За) ~ у |— |— (За) х, откуда по Т1 и Т2 имеем, что доказуема - (Va) у Н - (Va) х. Аналогично для МТ*2 (только используется R1, Л 6 и 47).

Поскольку для каждой аксиомы х\— у доказуема ~ у \— ~ х, (ТЗ — T9), а правила вывода это сохраняют (МТ*1 и МТ*2), то МТ2 доказана.

МТ 3. Если х\— у V 2 и z Н v доказуемы, и множества элементарных высказываний, входящих в заключения и посылки этих формул, совпадают, то х |— у \/ v доказуема (следствие МТ1 и МТ2).

. МТ4. Если х\/ у z к v\— х доказуемы, то при том же условии, что в МТЗ, доказуема v \/ у |— z (следствие МТ1 и МТ2).

МТ5. Если ~ х[— уия|— v доказуемы, то при том же условии, что в МТЗ, доказуема — г? |—   если х\— ~ у

[41, 42, Я1, £17] [41,Я1,£17] [-42] [42] [41,/?1,£17]

и v [— у доказуемы, то при том же условии, что в МТ3, доказуема ж |— ~ v (следствие М£1 и МТ2).

В Sig имеют силу также следующие теоремные схемы

£10.

£11.

£12.

£13.

£14.

£15.

(Va) ж (Vb) ж |— (Va) (ЗЬ) ж (Va) ж (ЗЬ) ж [— (Vo) (Sb) ж (За) ж (Vb) ж |— (3a) (Vb) ж (За) ж (3d) ж |— (За) (3d) ж (Va) (Vd)a[-(Vb) (Va) ж (За) (Vb) ж [— (Vb) (За) ж

£16. £17. £18.

£19. (Va) ж (Va) у j— (Va) (xy)

£20. (Va) (жу) (— (Va) ж (Va) г/ £21. (3a) (жу) |—(3a) ж (3a) у T22. (3a) (ж V if) H (3«) ® V (За) у £23. (3a) ж V (3a) у |- (3a) (ж у у) T2A. (Va) ж V (Va) г/ f- (Va) (ж V У) £25. (Va) ж \/ (За) г/ [— (За) (ж V у) £26. (За) ж V (Va) у Н (3a) (ж V У) Т27.

' £28.

£29.

ПО.

£31.

£32.

£33.

£34.

£35.

£36.

(41,42.7?!, £17, 7?2, £18] (За) (3d) ж ]- (3d) (За) ж            [42, R2, £18]

ж |— (Va) ж, где а не входит свободно в ж [42], (За)ж|—ж, где а не входит свободно в ж [41] [41,7?1, £17] - [41,7?1, £17] [7?2] [£19, £20, 46, 47] [£19, £20, 46, 47] [£21, МТ2, 46, 47] [£23, 41, 42, М£4] [£23, 41, 42, М£4] [41, 42]

[£27, МТ2] [£20, £27] [£20, £27] [£20, £27] [43] [£15, £27] ' [43,2к££3] . [£24, £27] [£19, £27]

(Vfl) ж |— (За) x

— (3a) x |— — (Va) x (Va) (xy) |— (Va) x (3a) у (Va) (xy) |— (3a) x (Va) у (Va) (xy) (3a) x (3a) у (Va) (я V У) I— (Яа) x V (Va) у (3a) (Vb) ж [-(3b) (За) ж  ₄

(Va) (x V у) H (я«)x V (За) у (Va) x V (Va) у |- (3a) (x V y) (Va) ж (Va) у (3a) (xy)

737. ~(Va)~x\-(Za)x

[46, 47], [41, 42,Я1,717] [41,Я1,Я2, 718] [41,42] [41,716]

[43]

738. (Va) (Vb) ж [- (Vb) (Яа) ж

739. (¥а)(¥Ь)ж|-(ЯЬ)(Уа)®

740. (Уа)(¥&)ж|~(ЯЬ)(Яа)ж

741. (Va) (ЯЬ) ж Н (ЯЬ) (Яа) ж

742. (Яа) х (Va) у |— (Яа) (ху)

§ 7. Главная интерпретация

> Возможны две равноценные (по результатам) семантические интерпретации кванторов* — прямая и косвенная.

Косвенная заключается в следующем.

Di. Отмеченный термин: если а есть термин, то га (r — 0, 1, 2, ...) есть его отмеченный термин.

Символом х (ra) будем обозначать высказывание, которое образуется из х путем замены а на га везде, где а входит свободно в х.

D2. Интерпретационная форма данной формулы х j—r/ есть формула, которая получается из нее в результате следующих операций.

1) если а входит свободно в лт |— то лт [— г/ заменяется на (Va)# [— (Va) у или (Яа)х |— (Яа) у; и так для всех терминов, имеющих свободные вхождения в х [— у;

2) все вырожденные кванторные группы отбрасываются;                                                      \

3) все вхождения вида (Vb) z заменяются конъюнкциями z (lb)...z (пЬ)\ все вхождения вида (ЯЬ) z заменяются ДИЗЪЮНКЦИЯМИ 2 (lb) X/ ... V2 если п = 0, то (уa)z и (Яа)2 заменяются на 2.

D3. Формула х [— у есть тавтология, если и только если каждая ее интерпретационная форма есть тавтология при любом числе отмеченных терминов для каждого термина, входящего в нее.

Прямая интерпретация имеет такой вид:

1) если (Va) х приписали значение 1, то должны и х

приписать значение 1; если х имеет значение 1, то значение (Va) х не зависит от х\                  <

2) если (Va) х приписали значение 0, то значение х не зависит от значения (.V а) х; если х имеет значение 0, то (Vа) х имеет значение 0;

3) если при установлении значения формулы следования, в которую входит х, мы, приписав посылке значение 1 или заключению значения 0, вынуждены вследствие этого приписать х значение 1, то должны (Va) х, входящему в ту же формулу, приписать значение 1; если же мы при этом не вынуждены приписывать х значение 1 (т. е. остается возможность приписать х значение 0), то (Va) х приписывается значение 0;

4) (За) х равнозначно ~ (Va) — х\

5) - если а не входит свободно в х, то х равнозначно (Va) х и (За) х.

IT3. Формула х |—у есть тавтология, если и только если он& имеет значение 1 для любых комбинаций значений входящих в нее высказываний, допускаемых правилами приписывания значений.

Рассмотренные интерпретации равноценны в том смысле, что если с помощью одной из них некоторой формуле приписывается значение 1 (или 0), то и с помощью другой этой же формуле приписывается значение 1 (соответственно 0). Эти способы приписывать значения высказываниям и формулам следования эффективны в том смысле, что для любого высказывания и любой формулы, рассматриваемым в теории кванторов, можно установить, являются они тавтологиями или нет. Тот факт, что при построении интерпретационных формул число отмеченных терминов не ограничено, принципиальных препятствий не создает, ибо методом математической индукции можно построить доказательство для любого числа отмеченных терминов.

H й. Полнота

В логической системе, определяющей свойства кванторов, должны быть доказуемы формулы, которые интерпретируются так: 1) как правила введения и удаления кванторов; 2) как правила, разрешающие перестановку кванторов; 3) как правила замены одних кванторов другими; 4) как правила, разрешающие вынос кванторов из дизъюнкций и конъюнкций и внесение их в конъюнкции и дизъюнкции; 5) как правила введения и удаления отрицаний у кванторов. Поэтому специфические правила следования, определяющие свойства кванторов, должны быть такими, чтобы в формулах х |— у*, являющихся бескванторными формами формул х (— у, посылки я* и заключения у* были тождественными или различались фы только так, что одни из них можно было получить из других заменой вхождений ~ ~ z на z (или наоборот). Проблема полноты Sscq в узком смысле выглядит так: все или не все тавтологии такого типа доказуемы в 8щ-Покажем, что система Sscq полна прежде всего в этом узком смысле.

Z>v Формула х\—у является базисной формулой, если и только если она есть одна из формул такого вида:

1. a(Ka)₽z|— %z

2. %z\— a(Ka)₽2

3.

4. a(K¹a)(zy)H₽(K²a)zr(K³a)p

5.. a (Kxa) (z V v) |— ₽ (K²a) z V ? (K³a) v

6. a (Kxa) 2₽ (K²a) v\— % (K³a) (zv)

7. a (Kxa) 2 V 3 (K²a) у H Г (К³a) (z V v)

8. a (Lxa) 3 (L²b) 2^7 (L³b) S (L^) 2,

где 1^, 1^^, К² и К³ суть V и Я в любых комбинациях, а a, Р, у и б означают наличие или отсутствие отрицания в любых комбинациях.

МП. Если базисная формула х [— у есть тавтология (с ограничением § 9 пятой главы), она доказуема в Sscq-

Теорема МТ1 доказывается путем пересмотра всех возможных базисных формул. Поскольку в Sscq доказуемы формулы

(Va) х —11 (Я а) — х (Яа) х —11 (Va) — х

— — х—\\—х

— СчО-11--a-V—N

то число случаев, которые необходимо рассмотреть, сокращается. Эти случаи сводятся к случаям 1—8 без отрицаний перед кванторами. Кроме того, в доказуемы формулы в которых а не входит свободно в х.

(Ка) х —\ |— х

Дальнейший метод перебора базисных формул таков.

В первом случае остается четыре подслучая

(Ve) у\~У (Яа)УНУ

(Va)~y|-y

Из них только одна формула (Va) у [—.у есть тавтология, и она доказуема в 5^ (-41).

Во втором случае остается четыре подслучая

x\—(Va)x я|—(Я а)х

х j— (Va) — х х\— (Яа) ~ х,

и только в одном из них формула есть тавтология, а именно — х J— (Яа) х. Она доказуема в Sscq (Л 2).

В третьем случае остается восемь подслучаев

(Va)z|— (Va)z (Яа)г|—(Va)z (Va) z |— (Яа) z (Яа) z |— (Да) z

(Va) — z|—(Va)z (Va) — z(— (Ha)z (Да) ~ z |— (Va) z (Яа) — z(Яа) z

Из них только первый, третий и четвертый суть тавтологии,' и они доказуемы в (а а системы Ss и 727VII6).

■В четвертом случае остается восемь подслучаев

(Va) (zv) |— (Va) z (Va) v (Va) (zv) j— (Va) z (Яа) v (Va) (zv) |— (Яа) z (Va) v (Va) (zv) |— (Яа) z (Яа) v

(Яа) (zv) |— (Va) z (Va) v (Яа) (zv) |— (Va) z (Яа) v (Яа) (zv) |— (Яа) v (Va) v (Яа) (zv) |— (Яа) v (Яа) v

Из них только первые четыре и последний суть тавтологии, и они доказуемы в Sscg (720, 729, 730, 731, 721 из § 6).

В пятом случае остается восемь подслучаев

(Va) (z \/ v) |— (Va) z \/ (Va) v

(Va) (z V v) [— (Va) z V (Яа) v

(Va) (z V v) [— (Яа) z V (Va) v

(Va) (z V v) [— (Яа) z >/ (Яа) v

(Яа) (z \/ v) |— (Va) z V (Va) v

(Яа) (z V и) H (Va) z V (Яа) v

< (Яа) (z V a) |— (Яа) z \/ (Va) a' .

(Яа) (z у a) |— (Яа) z V (Яа) v

Из них только вторая, третья, четвертая и восьмая суть тавтологии, и они доказуемы в Sscg (Л4, 732, 734 и 7 22 из § 6).

В шестом случае остается восемь подслучаев

(Va) z (Va) v (Va) (zv) (Va) z (Да) v |— (Va) (zv) (Яа) z (Va) v (Va) (zv) (Яа) z (Яа) v |— (Va) (zv)

(Va) z (Va) v)— (Яа) (zi>) (Va) z (Яа) a [— (Яа) (zv) (Яа) z (Va) v (Яа) (zv) (Яа) z (Яа) v (Яа) (zv)

Только первый, пятый, шестой и седьмой из них суть тавтологии, и они доказуемы в Sscq (719, 736, АЗ, 742 из § 6).

В седьмом случае остается восемь подслучаев

(Va) 2 V (Va) v j— (Va) (z \/ v)

. (Va) 2 V (Sa) v [— (Va) (z \/ v)

(Sa) 2   (Va) v   (Va) (z \/ v)

(Sa) 2 \/ (Sa) v f— (Va) (z\/ v)

(Va) 2 V (Va) v [— (Sa) (2 V v)

(Va) 2 \/ (Sa) v j— (Sa) (z\/ v)

(Sa) 2 V (Va) v |— (Sa) (z\/ v)

(Sa) 2 V (Sa) v |— (Sa) (2 \/ v)

•Из них тавтологиями являются только первый, пятый, шестой, седьмой и восьмой, и они доказуемы в S³cq (724, 735, 725, 726, 723 из § 6).

Наконец, в восьмом случае остается шестнадцать подслучаев . .

(Va) (Vb) z f— (Vb) (Va) 2

(Sa) (Vb) 2 j— (Vb) (Va) z (Sa) (Vb) 21— (Vb) (Sa) z (Sa) (Vb) z |— (Sb) (Va) z (Sa) (Vb) 2^-(Sb) (Sa) 2 (Sa) (Sb) 21— (Vb) (Va) z (Sa) (Sb) 21-(Vb) (Sa) 2 (Sa) (Sb) 2 s-(Sb) (Va) 2 (Sa) (Sb) 21-(Sb) (Sa) 2

(Va) (Vb) 21— (Vb) (Sa) 2

(Va) (Vb) 21— (Sb) (Va) 2

(Va) (Vb) 21— (Sb) (Sa) 2

(Va) (Sb) 2   (Vb) (Va) 2

(Va) (Sb) 2 f— (Vb) (Sa) 2

(Va) (Sb) 21— (Sb) (Va) 2

(Va) (Sb) 2)— (Sb) (Sa) 2

Из них только первый, второй, третий, четвертый, восьмой, десятый, двенадцатый и шестнадцатый суть тавтологии. И они доказуемы в Scq (714, 738, 739, 740, 741, 715, 733, 716 из § 6).

МТ2. Если формула

(Ка) (гг2² ...2»)l- (Кха) 2* (К²а) г²... (Кпа) 2"

есть тавтология (о ограничением), она доказуема в S³cq.

Доказательство МТ2. Если наша формула есть тавтология, то тавтологиями будут все формулы А¹

(Ка)(Л*. . , *»)|-(КЪ)Д

где г = 1, 2, п. В силу Sa доказуемы

(Ка)(Л« . . . z»)-!^-(La)(zi-(zi. . . z»_i)),

где zlf ..., zn-i суть все остальные из z¹,zn, отличные от zs. Очевидно, если будут доказуемы формулы В¹

то будут доказуемы ^формулы Л*. И если А¹ суть тавтологии, то и В¹ суть тавтологии, и наоборот. Но если В* есть тавтология (с ограничением), будет тавтологией базисная формула

(Ка)(^(их. . .                                 . zn-i).

Согласно МТ1 последняя доказуема. Значит согласно S8 доказуема В¹ и Л*. Поскольку это касается всех А¹, то неоднократным применением 7?3 системы Ss поручим, что наша формула доказуема.

МТ3. Если формула

(K^z^K^z² . . . (Kna)^H(Ka)(z4². . . z")

есть тавтология, то она доказуема в Sscq.

Доказательство МТ3. Если данная формула есть тавтология и К есть V, то все К? должны быть тоже V. Но в таком случае последовательно доказываются формулы

(Va)z*(Va) z²1— (Va) (zxz²)

(Va) (zxz²) (Va) z³1— (Va) ((zxz²) z³)

(Vd)(( . . . (zxz²)z³) . . . )zn~¹)(Va)zn|—

|— (Va) (( . . . (zxz²). .. ) z*¹-¹) zn)

'(Va)(( . . . ((zxz²)z³) . . . )zn"¹)zn)|—(Va)(zxz² . . . zn).

Если К есть Я, то доказательство аналогично (добавляется лишь использование T27VII6).

МТ4. Если формула

(Ка) (z¹ V я² V • • V *") Н (Кха) z¹ V (К²«) *² V • • • . ..V(K na)zn

есть тавтология (с ограничением), она доказуема в Sscq-Доказательство МТ4. Если К есть V, то данная формула может быть тавтологией лишь при условии,-если ни один да Кг,...,Кп не есть V или только один из них есть V (в чем легко убедиться, допустив два отмеченных термина). Если К есть Я, то все К¹, ..., Кп должны быть тоже Я. Пусть К есть V. В таком случае доказуемы формулы

(Va) (z¹ V (*² V • • • V -")) Н (Va)zl V

'   V(3a)(z²\/.   \/*n) •

(Va)(z¹ \/(z²y . V ^)) H(Яа) \/

V(Va)(z²X/ . . . V^).

Если К¹ есть V, выбираем первую из них, если К¹ есть Я, выбираем вторую. В первом случае будут доказуемы

(Sa) (za \/ (f³ V • • • V z”)) Н

Н (Яа) z² \/ (За) (z³ \/ . . . V z”)

(За) (z³ V (z* V • • • V z”j) Н

|— (За) z³ V (За) (z⁴ V • • • V z”)

(За) (zn~x V zn) |— (3a) zn~¹V/ (За) zn

Отсюда в силу МТ1 имеем

(Va) (z¹ V • • • V z") Н СV«)zl V (За) z² \/ • • • V (За)

Во втором случае проделываем то же, что и в первом, но для формулы (Va) (z²V ... \ДП)- Если К есть 3,’то доказуемы

(Яа)^\/(*²\/... V*n))H

H(3a)z¹VW(«²V---V«n)

(Яа) (г⁷¹"¹ V zn) |— (Яа) zn~x V(Яа) zn,

откуда по ЛГТ1 имеем

(Яа) (z¹ V - - . V-^l-(2a)zx V . . . \/ (Яа) zn.

МТ5. Если формула

(Кха) z¹ V ... V (К”а) z” |- (Ка) (z¹ \/ . . . V *п)

есть тавтология (с ограничением), она доказуема в SsCq-Доказательство МТЬ. Если К есть V, то данная формула может быть тавтологией лишь при условии, если все К¹, ..., Кп суть V (в чем легко убедиться на примере случая двух отмеченных терминов и п = 3). В таком случае будут доказуемы

(Va)zt>/ . . . y(Va)z"H

H(Va)zxV - - . V(Vs)(2-x V^)

(Va)zx V- - - V(Va)*nH

H (Va) z¹ V . . . V (Va) (z"-2 \/ (z"'x \/ zn))

(Va)z¹ V . . .‘V(Va)z^H

H(Va)(zx\/(z²V( - .

откуда no 5s получаем

(Va) zx V . . . V(Va)z«H(Va)(z¹V . . ■ V*n)-

Если К есть Я, то данная формула будет тавтологией при любом наборе К¹, ..., Кп. При этом будет иметь силу рассуждение, отличающееся от предшествующего только тем, что в нем-будет фигурировать по крайней мере один квантор Я или будет использована T27VII6.

МТ6. Если формула

(КЛа¹) (К²а²) . . . (K?an) z[~v,

где v отличается от посылки лишь иным порядком кванторов, есть тавтология (с ограничением), она доказуема в 5сд.

Доказательство МТ6. Случай 1: v отличается от посылки только порядком двух первых кванторов. В этом случае формула есть базисная тавтология и согласно МТ1 доказуема. Аналогично в случае 2, когда v отличается от посылки лишь порядком двух последних кванторов. Случай 3: v отличается от посылки лишь порядком двух кванторов (КW) и (Ki+1ai+1), где i > 1 и Н 1 < В этом случае будет доказуема базисная тавтология

(К*а*) (Ki+1ai+1) . . . (Кпап)г|—

Н(К¹⁺¹а¹⁺¹)(К^). . . (Knan)z,

и согласно и R2 доказуема данная формула. Случай 4: тавтологиями являются формулы

(К¹а¹)(К²а²) . . .

У¹)— I?², . . . , ит\— У, где v¹ отличается от посылки лишь порядком двух кванторов, v² отличается от v¹ лишь порядком двух кванторов ..., v отличается от vm лишь порядком двух кванторов (т 2). Приведенные формулы суть базисные тавтологий, и согласно МТ1 и S³ будет доказуема наша формула.

МТ7. Если х |— $ есть тавтология, х* у* есть ее бескванторная форма, х* и у* тождественны или одна из них может быть получена из другой путем замены вхождений вида ~ ~ z на я, то х\— у доказуема в Sscq.

Теорема МТ7 доказывается путем пересмотра всех возможных соотношений структур х и у. Для х возможны только такие случаи, когда оно есть:

1) элементарное высказывание;

2) (Va)s

3) (Sa) z,

4) 2¹ V . V-"(n>2)

5) z¹- . . . *zn(n> 2)

6) —z

Аналогично для у возможны только такие Случай, когда оно есть:

1) элементарное высказывание;

2) (V6)i?

3) (ЯЬ)и

4) и¹ V . . . V vm (т > ²)

5) у¹- ... -ит(т^ 2)

6)

Шестой случай в силу Ss и экономных и теоремных схем 46, 47, T1VII6, T2VII6, T7VII6, 728VII6, 737VII6 системы Scq сводится к остальным. Комбинации указанных случаев для х |— у будем обозначать символами r    к, где 1 r 5 и 1          5.

Рассмотрим все возможные i |— к. Для 1 |— 1 теорема верна в силу S³. Случаи 1|— 2 и 1 |— 3 сводятся к базисным. Случаи 1 |— 4 и 1 |— 5 исключаются. Случай 2 |— 1 сводится к базисному. Для 2^—2: если а есть Ь, то 2   2

есть тавтология лишь при условии, что z |—• v есть тавтология; если z |— v доказуема, то 2 j— 2 доказуема в силу 7?1; если а и & различны, то 2 (— 2 может быть тавтологией лишь при условии, что z (Vb) v есть тавтология; а если z s— (Vb) v доказуема, то доказуема 2 |— 2 в силу 41. Для 2 |— 3 рассуждение аналогично предшествующему (дополнительно используется 727VII6). Случай 2^—4 сводится к базисному или к случаю, рассмотренному в МТ4. Случай 2 |— 5 сводится к базисному или к случаю, рассмотренному в МТ2. Случай 3^—1 сводится к базисному. Для случая 3 |— 2: если а и Ь одинаковы, то 3 |— 2 может быть тавтологией лишь при условии, что а не входит свободно в z и z |— (Vb) v есть тавтология или а не входит свободно в v и (Яа) z |— v есть тавтология (или и то и другое); а если эти формулы доказуемы, то доказуема данная формула в силу T17VII6 или 748VII6; если а и b различны, то 3 j— 2 может быть тавтологией лишь при условии, что z (Vb) v есть тавтология, и а не входит

свободно в ?>; а если 2 (Vfc) r) доказуема, то при этом условии 3^—2 доказуема в силу T18VII6. Для 3^—3: если а и & одинаковы, то 3   3 есть тавтология лишь при

условии, что z\—'v есть тавтология; а если z\— v доказуема, то 3   3 доказуема в силу 7?2; если а и b различны,

то 3 |— 3 может быть тавтологией лишь при условии, что (Эа) z v есть тавтология; а если (Яа) z v доказуема, то 3 р- 3 доказуема в силу R2. Случаи, 3 р- 4 и 3 [— 5 сводятся к базисным и к случаям, рассмотренным в МТ2— МТ5. Случаи 4 ]— 1, 4 |— 5, 5 |— 1 и 5^—4 исключаются. Случаи 4   2, 4^—3, 4^—4, 5 (— 2, 5 [— 3 и 5 }— 5 сво

дятся к базисным и к случаям, рассмотренным в МТ2— МТ5.

Таким образом, система Sscq определяет исчерпывающим образом свойства кванторов для высказываний с операторами • , V и ~ в смысле МТЧ.

§ 9. Проблема разрешимости

Однако полнота SsGq, о которой говорилось в предшествующем параграфе, еще не достаточна для решения проблемы разрешимости для Sscq. Для этого необходимо показать, что полна в смысле МТ6, формулируемой ниже.

D1. Контрольной формой формулы х |— у будем называть формулу, которая образуется из нее в результате таких операций:

1) если бескванторные формы формул |— у и Р- ~ х недоказуемы в *У⁵, то х \— у оставляется без изменения;

2) если бескванторная форма формулы |— у или р- ~ х оказуема в S⁵, то все вхождения высказываний в х у, не содержащие кванторов, заменяются их дизъюнктивной нормальной формой в обычном смысле (см. гл. III, § 6); все вхождения вида ~ ~ а, где а есть элементарное высказывание, заменяются на а;’если’элементарное высказы ванне а входит в х (или в у) без отрицания и с отрицанием (и это — разные вхождения), то ~ а повсюду заменяется любым элементарным высказыванием, не входящим в х\— у; и так для всех пар элементарных высказываний и их отрицаний, совместно (но в разных местах) входящих в х (или в у).

МТ 1. Если х* р- у* есть контрольная форма формулы х\—у, и х* \-г у* при этом есть тавтология, то х Н у есть тавтология (но не всегда наоборот).

^Теорема МТ1 очевидна из способа построения кон7 трольной формы: если Ь есть элементарное высказывание, подставляемое на место ~ а, и х* |— у* есть тавтология, то это значит, что она имеет-значение 1 для всех четырех комбинаций значений а и Ъ, и в том числе — для двух комбинаций, которые получаются для a и—а. И так для всех заменяемых элементарных высказываний с отрицаниями.

МТ2. Если х* (— у* есть контрольная форма формулы х\— у^ а 2**   г/** есть бескванторная форма ж*|— r/*,

то s—у** и |— ~ я** недоказуемы в £⁵ (т. е. г/** не есть тавтология, а х** не есть противоречие); недоказуемы в S⁵ также \— х** и ~ у** (поскольку ни одно высказывание не входит в ж** и в r/** совместно с его отрицанием).

МТ3. Если х у доказуема в Sscq, то доказуема и ее контрольная форма (это очевидно из вида экономных схем и правил Sscq)-

МТ&. Если доказуема контрольная форма данной формулы х у, то доказуема и сама х Н У (по-скольку доказательство х*   у* легко превратить в доказательство гг |—   заменив повсюду соответствующие

элементарные высказывания на подходящие элементарные высказывания, входящие в х\— у).

МТ5. Пусть х у есть тавтология, совпадающая со своей контрольной формой, а ее бескванторная форма х* [— у* доказуема в В таком случае х\— у доказуема в Г*.

Доказательство МТ5. Возможны два случая: 1) я* (— у* и у* |— х* доказуемы обе, и тогда множества элементарных высказываний, входящих в / (а значит В L и у), совпадают; 2) х* (— r/* доказуема, а у* (— я* нет.

Второй случай сводится к первому следующим образом: если х |— у есть тавтология, то х |—• ух есть тавтология, и наоборот; если х |— ух доказуема, то х |— у доказуема; если х* |— у*х* доказуема, то х |— ух доказуема, поскольку она есть тавтология, и доказуема у*х* |— х\ Для первого же случая МТЬ доказывается аналогично доказательству МТ7 предшествующего параграфа. Только при этом необходимо принять во внимание то, что в силу указанного в МТ5 ограничения на я |— у в я и у не входят элементарные высказывания совместно со своими отрицаниями.

Рассмотрим случаи i\— к. Для 1 }— 1 теорема верна в силу 8s. Для 1 |—■ 2: 1 |— 2 есть тавтология лишь при условии, что Ъ не входит свободно в р; но если х\— v доказуема при этом условии, то 1 (— 2 доказуема в силу T17VII6. Для 1 \— 3: если х |— р- доказуема, то 1 |— 3 доказуема в силу Л2. Для 1 |—• 4: 1 |— 4 есть тавтология, если и только если найдется такое p* (i = 1, ..., тп), что х |— р* есть тавтология; а если х р- р* доказуема, то в силу 8s.доказуема, 1 4. Для 1 |— 5: 1 |— 5 есть тавтология, если и только если каждая из х г/ (г = 1, ..., т) есть тавтология; а если все х р~ р* доказуемы, то в силу 8 доказуема 1^—5. Для 2 j— 1: если z\~ х доказуема, то 2 |— 1 доказуема в силу А1. Для 2 |— 2 и 2 |— 3 рассуждение аналогично таким же случаям в доказательстве МТ7 предшествующего параграфа. Для 2 |— 4: 2 ]— 4 есть тавтология при условии, что найдется такое ip, что z\— w есть тавтология, a (Va) w\— (р¹ \/ ... V vm) есть тавтология и относится к числу формул 2 |— 4, рассмотренных в МТ7 предшествующего параграфа; а если z р» w и (Va) w |— р- (paV ••• V рт) доказуемы, то доказуема 2р- 4 в силу 8s. Для 2 |—• 5: 2 |— 5 есть тавтология при условии, 'что найдется такое ip, что z\—w есть тавтология, a (Va) w |— р¹-___vm есть тавтология и относится к числу формул

2 |— 5, рассмотренных в МТ1 предшествующего параграфа; а если z |— w и (Va) w |— гА ... -E доказуемы, то доказуема 2 J— 5 в силу Ss. Случай 3 j— 1 сводится к базисному. Для 3^—2 и 3^—3 рассуждение аналогично таким же случаям в доказательстве МТ7 предшествующего параграфа. Для 3 [—4 рассуждения аналогично случаю 2 |— 4, а для 3 |— 5 — случаю 2 J— 5. Для 4 |— 1: 4 |— 1 есть тавтология при условии, что каждое из zl\— у есть тавтология; а если все z' |— у доказуемы, то 4 |— 1 доказуема в силу .MT2VII6 и S⁸. Для 4   2: 4 |— 2 есть

тавтология при том условии, что найдется такое w, что w [— v есть тавтология, a zl\/ ... \/ zn[— (Va) w есть тавтология и относится к числу формул 4 |— 2, рассмотренных в МТ7 предшествующего параграфа; а если zl \/ ... ... (Vb) w и w\— v доказуемы, то доказуема 4^—2. Для 4 |— 3 рассуждение аналогично 4 |—• 2. Для 4 |— 4: если 4 |— 4 не содержит кванторов, опалок азуема в силу полноты S⁸; если же она содержит кванторы, то она либо доказуема в силу S⁸, либо недоказуема в силу S⁸; в последнем случае она есть тавтология лишь при условии, если найдутся ш¹ и w² такие, что z¹ V ... \/ zn и ш²|— |—• V¹ V ... \/vm суть тавтологии и относятся к числу формул

4   к и r 4, рассмотренных в МТ7 предшествующего параграфа, a w¹ |— w² есть тавтология; если последние три формулы доказуемы, то доказуема 4 |— 4. Для 4^—5 рассуждение аналогично (только нужно сослаться на 4 к и |— 5 предшествующего параграфа). Для 5 |— 1:5 |— 1 есть тавтология при условии, что среди z*, ..., zn найдется zl такое, что z* |— у есть тавтология; а если zl |— у доказуема, то доказуема 5 |— 1 в силу S⁸. Для 5 ]— 2, 5 |— 3,

5 J— 4 и 5 |— 5 рассуждения аналогичны случаям 4 |— 2,

4 |— 3, 4   5 и 4   4.

Из МТ1 — МТ5 следует полнота S⁸cq в смысле следующей теоремы:

МТ6. Пусть х* |— у* есть контрольная форма формулы х [■— у, a A** s— у** есть бескванторная форма формулы х* |— у*. Если х* [— у* есть тавтология, а 2** j— у** доказуема в S⁸, то х р- у доказуема в Sscq.

Поскольку для любой данной формулы х |— у можно (по самому способу приписывания значений входящим в нее высказываниям или по ее интерпретационной форме) установить, является она тавтологией или нет, благодаря МТ6 имеется стандартная процедура, посредством которой для любой данной формулы х [— у можно установить, доказуема она в Sscq или нет.

Пусть дана формула х |— у. Чтобы установить, доказуема она в SScq или нет, надо осуществить следующие операции (а эти операции осуществимы для любой формулы):

1) образовать бескванторную форму я*   у* формулы

х [— у и установить доказуема она в Ss или нет; если х* [— у* недоказуема в Ss, то х р- у недоказуема в Sscq\ если же 2* j— r/* доказуема в Ss, то надо осуществить следующий шаг;

• 2) образовать контрольную форму я** j— у** данной формулы х (— у и установить, является она тавтологией или нет; если я**   r/** есть тавтология, то х\— у дока

зуема в SsCqt если 2** у** тавтологией не является, то х\— у недоказуема в Sscq.

§ 10. Другие бистемы

для классического случая

Другие системы теории кванторов для классического случая получаются путем присоединения к Sw, 5W, *SC, S⁵ и S⁶ таких же дополнений, какие сделаны выше к Ss. В системе Scq принимаются еще дополнительные правило и определения.

R1, Если |— л:, то |— (Va) х.

Di. Интерпретационной формой формулы [— х называется формула, которая получается из нее так: если термин а входит свободно ъ х, то [— х заменяется на |— (Va) х\ и так для всех терминов, имеющих свободные вхождения в х; в остальном имеют силу пункты 2 и 3 определения D2VII7.

D2. Формула |— х есть тавтология, если и только если х есть тавтология при любом числе отмеченных терминов для каждого термина, входящего в х.

В случае прямой интерпретации D1 и D2 излишни.

МТ1. Если \—х доказуема в 8^, то она есть тавтология (теорема очевидна, поскольку если ]— х доказуема, то значит любая х (ia). и их конъюнкция есть тавтология).

МТ2. Формулы

|—(Va)(a<—Ь) о (с«—Ь)

|— (с Ь) о (Яа) (а Ь)

недоказуемы в Sscq (поскольку они не тавтологии).

§ 11. Расширение Scq

Расширим систему S^, заменив аксиомную схему

Л5 на такую:

Л*5. (Яа)ж|— (Va)x,

где а не входит свободно в х или |— х доказуема в 8⁵.

Для такой имеют силу теоремные схемы 71 — 74, в которых доказуема |— х (т. е. х есть тавтология):

71. х\— (Va)x

- Т2. (Яа)ж|— х

ТЗ. (За) — х\— ~х             i

74. ~х\-(Ve)~a:

В случае ТЗ и 7*4 высказывание —- х есть противоречие.

75. х\— (¥а)(ж\/ — х)

76. (Яа) (-— хх) |— х

Формулы типа 75 и 76 недоказуемы в

Систему Scq можно получить также, добавий к айбй-омным схемам Slq схему Л8:(Яа)— ((я¹...#⁷¹)—■(х¹...хп))|— |— (Va)~((^¹... in)~(rr¹...^n)), где n> 1,

В расширенной таким образом будет иметь силу утверждение:

МТ 1. Если х у есть тавтология, а ее бескванторная форма доказуема в Ss, то х (— у доказуема в S^.

Доказательство МТ1 отличается от доказательства МТ5 из § 9 только двумя случаями, когда в бескванторной форме х* s— у* формулы х\— у высказывание г/* есть тавтология (j— у* доказуема в S⁵) или х* есть противоречие (|—• ~ 2* доказуема в S⁶).

При рассмотрении i |— к эти случаи охватываются посредством Л*5 и Т1 — Z4.

§ 12. Система Snq

Система сильной теории квадторов для неклассического случая получается путем следующих дополнений к Sscg и модификаций последней.

Дополнение к алфавиту:

1)   — внутреннее отрицание;

2) ? J- оператор неопределенности.

Дополнение к определению высказывания: если а есть термин, а х есть высказывание, то С⁻] Va) х, (?Va) х9 (~“| На) х и (? Ла) х суть высказывания.

Дополнение к определению кванторной группы: (~“| Va), (? Va), П Яа) и (? На) суть кванторные группы, если а есть термин

В‘ определение свободных и связанных терминов добавляется ссылка на кванторные группы (~“| Va), (? Va), ПЯа)и(?Яа).

Вместо аксиомных схем Л 6 и Л 7 системы Sfg принимаются такие аксиомные схемы:

Л¹6. (Va) ж ¹¹ (—| Яа) — х

Л⁸6. (П ¥а)х|-(Яа)~ж

Л³6. (? ¥а)ж|—(? Яа)— х

А¹7. (•—||Яа)— х\— (¥а)ж

Л²7. (Яа)~ж}-(-|¥а)ж

Л³7. (?Яа)~ж|-(? ¥а)ж

Дополнительные аксиомные схемы:

Л¹8. (¥а)ж|— ~(—| ¥а)ж—(?¥а)ж Л² 8. (—|¥а)ж|--(¥а)ж— (?¥а)ж

Л³ 8. (?¥а)ж}--(Va)a~(“]Va)x

Л¹9. ~(-]Va)x~(?Va)a:H(Va)a: Л² 9. ~(¥а)ж— (? Va) ж |—(~] Va) ж Л³ 9. — (Va) ж — (~] Va) х (?Va) ж ЛЮ. (~| Va) (жу) J- П Va) ж V СП Va) -/ ЛИ. СП Va) ж V СП Va) у Ь СП Va) (жу)

Л12. (—]Яа)ж\/(—1 Я«) г/ ]— (ПЭа)(жу)

§ 13. Непротиворечивость Ssnq

D1. Бескванторная форма ж |—у есть формула, которая образуется из нее так:

1) все вхождения вида (?Vb) z.и (?ЯЬ) z заменяются соответственно на (V&) z ~ ( | Vb) z и ~ (ЯЬ) z • ~(“|H6)Z;

2) все вхождения вида ( | Vb) z и ( | Яb) z заменяются соответственно на ~ (Vb) г и ~ (Яй)г;

3) все кванторные группы из полученной формулы исключаются.

Бескванторные формы формул ЛМ5 — Л³6, А*7 — Л³7, Л*8 — Л³8, Л‘9 — Л³9, Л10, Л11 и Л12 суть соответственно '

х\—.— ~ж            —ж~~ж|——  ---

— х\— •— X             ~ — ж — (— ж--ж) |— X

Все эти формулы доказуемы в Ss. Правила вывода это свойство сохраняют. Тем самым доказана непротиворечивость

§ 14. Некоторые следствия в S'nq

МТ1. Если ж |— у доказуема в S^, то в у не входят элементарные высказывания, отсутствующие в ж (эта теорема непарадоксальности очевидна из вида аксиомных схем и правил вывода

7Т. (Яа)'ж-|Н(“^а)~а:

72. (“]Яа)жЧН^а)~ж

73. (? Яа) ж —| (— (2 Va)~ ж.

74. ^(Va)a:HH(“|Va)®V(? ¥а)ж

75. ’~(⁻Па)ж-|Н^а)ж\/(? Va-ж

76. — (?“ Va) ж-, |- (Va) ж V (“1 Va) ж

77. (Яа)(ж\/!/)Ч1— (Яа)ж\/(Эа)у

78. (Va) ж V (Va) у р (Va) (ж V У)

§ 15. Главная семантическая интерпретация

Косвенная интерпретация отличается от таковой для Scq следующими дополнениями и изменениями:

1) если х есть высказывание,“то {х} есть высказывание;

2) если одно из {х} и {~ х} имеет значение 1, то др у- < гое имеет значение 0; если же одно из них имеет значение 0, то значение другого не зависит от первого;

3) интерпретационная форма формулы х |— у получается так:

a) вхождения (?Vb)z и (?W) z заменяются соответственно на — (Vb) z ~   | Vb) z и ~ (ЯЬ) z ~   | ЯЬ) z;

b) вхождения (“"] Vb) z и (“| Я b) z заменяются соответственно на (Я&) ~ z и (Vb) ~ z;

c) вхождения (Vb) z и (ЯЪ) z заменяются соответственно на {z (lb)). ... >{z (rib)} и {z (lb)) \/ ... \/ {z (nb)).

Прямая интерпретация отличается от таковой для SsCq тем, что принимаются такие дополнения:

1) (? К а) х равнозначно — (К а)х~ (~“| К а) х, где К есть V или Я;

2) если одно из (Ка) х и (“| К а) х имеет значение 1, то другое имеет значение 0, если же одно из них имеет значение 0, то значение другого не зависит от первого;

3) соотношение (Va)x и х аналогично Sscq] если возможно (невозможно) приписать х значение 1, то (Яа) х имеет значение 1 (значение 0); если (Яа)х имеет значение 0, то х имеет значение 0; если х имеет значение 0 (или (Яа) х значение 1), то значение (Яа)х (соответственно значение х) не зависит от х (от (Яа) х).

МТ1. Если х\— у доказуема в Snq, то она есть тавтология.                                   \

МТ2. Формулы

— (~]Va)# |— (Va)#~("”]ga)nj—(Яа)^

недоказуемы в Ssnq (поскольку они не являются тавтологиями).

МТЗ. В Snq недоказуемы формулы

~(Va)—-х\— (Яа)ж     -(Яа)— х\— (Va)a:

ит. п., поскольку не являются тавтологиями.                  i

§ 16. Другие системы

для неклассического случая

I

Другие системы теории кванторов для неклассического случая образуются аналогично таковым для классического случая.

В системе Snq имеют силу теоремные схемы: (К есть ' V или Я):                                                        ¹

Т1. Н~((Ка)ж(~|Ка)«)

Т2.   —((Ка)ж(?Ка)х)

ТЗ. [- — ((ПК а)х(?Ка)х)

Т4. Н (Ка) ж V (П Ка)« V (?Ка) ж

Т5. \-(Ка)х-.(~\Ка)х:(?Ка)х

МТ2. Если я доказуема в 5^, она есть тавто- | логин.

wet.        л

МТЗ. Формулы

~ (И Ка) х о (Ка) ж

Н(Ка)я7(~|Ка)х

йедоказуемы в S^q (поскольку ойи йе тавтологии). Аналогично недоказуемы

Н (Ка)х V (?Ка)х     Н П Ка)х\/ (?Ка) л

§ 17. Другой вариант классического случая

Системы для классического случая можно получить из-систем для неклассического случая^ приняв дополнительную аксиомную схему:

Л *13. ~(Va)®b-nVa)®

При этом будут иметь силу теоремные схемы:

Ti. |--(?Ка) я] ;

Т2. (Уа)ж—— х

ТЗ. Н(Ка)яуПКа)*-

§ 18. Полнота

Проблему полноты S&nq и 5ng мы не рассматриваем. Ограничимся лишь следующими замечаниями.

Определение базисной формулы для Ssnq отличается от такового для S^q тем, что перед символами К, К¹, К2 и К³ в скобках ставятся буквы, обозначающие наличие одного из | и ? или отсутствие обоих (в любых комбинациях). Соответственно увеличивается и число случаев, которые надо рассмотреть при доказательстве полноты SSnq и Snq (а они, как мы предполагаем, полны соответственно в смысле МТ7 восьмого параграфа и MTQ девятого параграфа).

Возможен другой путь решения проблемы. В экономных схемах вхождения вида (^Vb) z заменить на (ЯЬ) — zy (? Vb) z заменить на — (Vb )z — (ЯЬ) ~ z, (“”] ЯЬ) z заменить на (Vb) ~z, (?Яb) z заменить на ~ (Яb) z> ~ (Vb) ~ я. Принять семантические правила: 1) если одно из (Vb) z и (ЯЬ) z имеет значение 1, то другое име-

ет значение 0; если же одно из них имеет значение 0, то | значение другого не зависит от первого; 2) если (Яb) z     |

имеет значение 0, то z имеет значение 0; если (Яb) z имеет      «

значение 1, то значение z не зависит от (ЯЬ) z; если z имеет значение 0, значение (ЯЬ)г не зависит от z; если z может принять значение 1, что (Я7>) z принимает значение 1; отношение (Vb)z и z аналогично Sscq.

Аксиомные схемы 4s6 — 4*9, 410 — 412 примут такой вид:

1. (Va)#|— (Va)— — #

2. (Яа)— х\— (Яа) —#

3. —(Vа)х— (Яа) — х\— .—(Яа)#~(Va)— х

§ 19. Правила подстановки

МТ 1. Если формула х\— у, не содержащая кванторов, доказуема в Ss, то в Ss будет доказуема формула z |— у, которая образуется из n j— у путем подстановки любого высказывания Ъ на место элементерного высказывания а везде, где а входит в х |— у.

Справедливость MTi видна из следующего: если х [— у есть аксиома, то и г |— и есть аксиома; если х |— у есть теорема, то доказательство ее легко превратить в доказательство        заменив повсюду а на Ъ.

В Scq доказуемы следующие теоремы (где с есть а, Ь, а¹, а², Ь¹ или &², а все а, b, а¹, а², Ъ¹ и Ъ² суть простые термины):

1. (Vc)(a<-b)(—(а«-Ь)

2. (а«-Ь)Н(Яс)(а<-Ь)

3. СVc) (а b) Н ~ (Яс) ~ (а <- Ь)

4. — (Яс) ~ (а Ъ) Н (Vc) (а *- &)

5. (Vc) (а¹ <- Ь) (Яс) (а²Ъ) Н (Яс) ((а¹ <- Ь) (а² <- Ь))

6. (Vc) (а <— Ь¹) (Яс) (а <— b²) |— (Яс) ((а ft¹) (а <- Ь²))

7. (Vc) (.(а¹ Ь) V (а² <- &)) р (Vc) (^<-b) V (Яс) (a²<-b)

8. (Vc)((a Ь¹) V (а <- Ь²))Н (Vc) (а <- Ь¹) V (Яс)(а b²)

9. (Vc) (а<^-Ь) [— (Vc) (Vc) (а«-Ь)

10. (Яс) (а <- Ь) |— (Vc) (Яс) (а <- b)

11. (Яс) (Яс) (а <- Ь) (Яс) (а Ъ)

12. (Яс) (Vc) (а Ь) |— (Vc) (а <— 6)

13. (a^b)'H(Va¹) (а<->6)

14. (Яа¹) (а <— &) |— (а Ь)

МГ2. Если [— у есть одна из Т1 — 7Я2, а у z образуется из нее путем подстановки любого высказывания на место элементарного высказывания везде, где оно входит в х\— у, то v |— z доказуемо в SsCq.

5 А. А*. Зиновьев

129

МТЗ. Если х\— у есть одна из 71 — 712, a v (— z образуется из нее путем подстановки любого предиката (субъекта) Ъ на место простого предиката (субъекта) а везде, где а входит в х |— у, то и z доказуема в SScq-

МТ4. Если х у суть одна из 713 и 714, то в Sscq-доказуема формула аналогичная таковой в М72, если выполнено условие: в высказывание, которое подставляется на место элементарного, не входит а¹.

МТЗ. Если х у одна из 713 и 714, то в Sscq доказуема формула v\— z, аналогичная таковой в М73, если выполнено условие: подставляемый предикат (субъект) не есть а¹ и не содержит а¹.

Теоремы М71 — М75 можно рассматривать как производные правила подстановки. Приняв в качестве аксиом 71 — 714 и аксиомы S³ (получаются заменой букв в экономных схемах Ss символами элементарных высказываний), а в качестве правил вывода правила *Ss, дополнительные правила Sscq и М71 — М75, получим систему, эквивалентную Sscq. Аналогично можно сделать для прочих систем Szcq и Snq-

§ 20. Расширения систем теории кванторов

Рассмотренные системы теории кванторов определяют свойства кванторов только в сочетании их друг с другом и с высказьдеаниеобразующими операторами общей теории дедукции. Этим не исчерпываются свойства кванторов, и мы в дальнейшем приведем немало примеров в подтверждение этого утверждения. Кроме того, мы рассмотрели и будем рассматривать здесь лишь кванторы V и Я, которыми не исчерпываются все виды возможных кванторов (см. об этом [3]).

В частности, если принимаются во внимание термины вида (а¹,..., ап), то к экономным схемэм систем теории квэнторов должны быть добэвлены схемы А*/:

{Ka)(Kb)x^\-(K(aib))x

(Kax)(Ka²) . . .                             . . ,ап))х,

где К есть V или Я.

Можно ввести в рассмотрение кванторные группы вида

((L'a). («?-)), '   ((K?a)V(K²&))

и т. п. Для них возможно принять аксиомные схемы Л* II:

(а (Кха) 3 (К²&)) х Ч Н а (Кха) х Р (К²Ь) х

где аир означают наличие п отрицаний ~ (п^О):

(a (Lxa) V 3 (К²Ь)) ж Ч Н а (Кха) а: V 3 (L²b) ж

~ (а (Юа) 3 (К²Ь)) я Ч Н (~ “ (Кха) V ~ 3 (К²&)) ж

~ (а (Кха) V 3 (К²Ь)) ж Ч Н (~ а (Кха) ~ 3 (К²Ь)) ж

Аналогично для любого числа кванторных групп и для кванторных групп с внутренним отрицанием и оператором неопределенности.

§ 21. Кванторы и условные высказывания

При соединении теории кванторов и теории условных высказываний надо добавить определение высказывания в теории условных высказываний к определению высказывания в теории кванторов и принять следующие аксиомные схемы:

1. («-*») Н (Va) («-►») .

2. (Яа)(ж~|->У)|—

3. (За)

5. (я^у)-||-((Яа)а:г>у)

В классическом случае (в зависимости от способа построения систем) либо принимается схема

(За) ~ (ж -> у) |- ~ (ж  у),

либо она доказывается.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

ТЕОРИЯ ПРЕДИКАЦИИ

§ 1. Системы -8^

Системы Sp теории предикации (сформулированы'в [3—5]) получаются благодаря таким дополнениям к системам общей теории дедукции, а также к другим системам, которые рассмотрены или будут рассмотрены ниже.

Дополнение к алфавиту:

1)  | и ? суть^ операторы соответственно внутреннего отрицания и неопределенности;

2)   — оператор предикативности.

D1. Дополнение к определению высказывания: если а есть энместный субъект, а b есть соответственно энме-стный предикат, то (а <— Ь) , (а ~\ «— Ъ) и (а? <— Ь) суть высказывания¹.

D2. Высказывания вида (а <— b) являются элементарными для теории предикации.

Высказывание (а <— Ъ) входит в (а V) и (а?   b).

Дополнительные аксиомные схемы:

41. (а<— Ъ) ~ (а⁻|<—&)— (a? <-b)

42.

43. (S^I<-b)[-^(L^-b)^(L? ^-b)

. 44. ~(а<-Ь)~(а?

45. (а?

44.                            <-b)

ЛТП. Если х у доказуема в Ssp, то в у не входят элементарные для теории предикации высказывания, отсутствующие в х (теорема очевидна из вида 41 — 46).

Для Sp имеют силу теоремные схемы:

П.~(а^Ь)НН(а”1<-Ь)\/(л?<-Ь)

Г2^(а“|^Ь)НН(в*-6)\/(«?*-Ь)

а п.^(а?<-Ь)ЧЬ(^Ь)7(Л^Ь)

Т4.(а«-Ь)|--(аП<-Ь)

Т5.(а<-4Ь)Н~(а?<-Ь)

Т6.(аПч-Ь)Н~(а<-Ь)

Г7.(а“|<-Ь)|--(а?<-Ь)

Для 5® имеют силу теоремные схемы:

Гб. Н (а<- Ь): (а “| <- Ь):(а ? Ь)

r7.H(a4-b)V(an*-b)V(«?^b)

Г8.|--((а<-Ь)(аП*-Ь))

T9. |--((а*-Ь) (а ?*-&))

ПО. |--((аП<-Ь)(а?<-Ь))

§ 2. Интерпретация

Примем следующую интерпретацию:

1) если одну из (а <— Ь) и (а “"| <- b) приписывается значение 1, то другому из них приписывается значение 0;

2) если одному из (а <- Ь) и (а “”] <— b) приписывается значение 0, то значение другого остается неопределенным (независимым от значения первого);

3) (а? <— b) равнозначно ~ (а <— Ъ) ~ (а “”| <- Ь).

Равносильной с приведенной является следующая интерпретация:

1) (а “] <— Ь) .равнозначно ~ (а <— Ъ) х, где х есть элементарное высказывание, не входящее в формулу, в которую входит (а “"| ч- Ъ) (и значение которой выясняется);

2)  (а? <- Ь) равнозначно ~ (а Ъ) ~ (а ] «— Ь).

Равносильность этих интерпретаций видна из следующего: если (а <- Ь) имеет значение 1, то (а <— Ь) имеет значение 0, и ~ (а <— Ъ) х имеет значение О независимо от значения х\ если ~ (а «— Ь) х имеет значение 1, то — (а <— Ь) имеет значение 1,-и (а «— Ь) имеет значение 0; если (а Ъ) имеет значение 0^ то ~ (а <— Ь) имеет значение 1, и значение ~ (а «— Ь) х оказывается зависимым исключительно от a?, т. е. — (а b) х может принять как значение 1, так и значение 0; если ~ (а <— Ъ) х имеет значение 0, то либо ~ (а Ь) имеет значение 0, либо ~ (а «— «— Ъ) имеет значение 1 и х имеет значение 0, либо обе ~ (а «— Ъ) их имеют значение 0; так что (а <— Ъ) может принять как значение 1, так и значение 0.

МТ 1. Все формулы х\— у и |— гг, доказуемые в системах Sp, суть тавтологии (поскольку все А1 — Л 6 суть тавтологии).

МТ2. Формула ~ (а <- Ь) |— (я Ь) в Ssp недоказуема (поскольку не является тавтологией). Формулы н (« «~ Ь) V П b), I- (я <- Ь) V (а?   Ь), Н (а “1 *-

Ь) V (а? <— b) в недоказуемы (поскольку не являются тавтологиями).

МТЗ. Высказывания (я <— 6) и (а | «— Ь) находятся в неклассическом отношении. Аналогично — пары (я <- b) и (я? <- 6), (а П <- Ь) и (а?    b).

§ 3. Классический случай

В классическом случае теория предикации излишня, поскольку отрицания совпадают, а неопределенность исключается. Аксиомные схемы А1 —Л 6 принимают вид (я <— Ъ)—j |— ~ ~ (а <— Ъ) и - ~ (я <— &) —[ |— ~ (а fe). Тот же эффект получится, если Л1 — Л6 добавить экономную схему (а ”] <- 6) р-‘ (а <- 6).

§ 4. Полнота

D1. Базисные формулы теории предикации суть формулы вида         sb s— e, с |—    а, \/ b |— с, с а \/ b и |— z, где a, b и e суть элементарные для теории предикации высказывания или их отрицания (внешние и внутренние) и неопределенные формы, a z есть высказывание, образованное исключительно из таких высказываний и операторов общей теории дедукции.

МТ 1. Если базисная формула х\— у есть тавтология, и в я и у входят одинаковые элементарные для теории предикации высказывания, то х  у доказуема в S£. Если базисная формула j— z есть тавтология, то она доказуема в Sp. Теорема доказывается путем пересмотра всех случаев базисных формул.

§ 5. Дедуктивно связанные предикаты

Di. Предикаты Ь и с дедуктивно связаны, если и только если доказуема хотя бы одна из формул (а b) |— (а <— с) и (а <- с) [— (а <- Ъ).

D2. Предикат Ъ дедуктивно включается в e, если и только если доказуема (а с) (а <— Ь).

D3. Предикаты Ъ и с дедуктивно эквивалентны, если и только если доказуемы обе (а ч— Ь) [— (а «- с) и (а ч— с) |— Н (а *- Ъ).

Z>4. Предикат Ъ дедуктивно сильнее предиката с, если и только если доказуема (а Ь) |— (а ч— с) и недоказуема (а ч- с) |— (а ч- Ь).

D5. Предикат Ъ дедуктивно категорически сильнее предиката с, если и только если доказуемы (а <— Ь) |— Н (а ■*- с)/ (а ~“| с) Н (« “1 *- Ь) и (а? с) |- ~ (а «ы ч-.Ь).

В классическом случае в D5 достаточно принять (а ч—

Ь) |— (а ■«-с) и ~(а<-с)|-

§ 6. Теория предикации и кванторы

Как уже отмечалось, в недоказуемы формулы

— (Va) — х —]  (За) х — (Ла) — я —11— (Va) ж й т. п. Ио в теорий кванторов, расширенной за счет ДО-* полнения, изложенного в § 1, имеют силу следующие тео-ремные схемы:

71. — (Va) — (а <— Ь) |—

н СП Va) ~ (ач-Ь) V (?Va) ~ (a<-Ь)

72. ~(Va)~(aob)H(nVa)((a-]^-b)V

\/ (а? <- Ь)) V (? Va) ((a -><-b)V(a? - r>))

73. (Va) (a b) l-- (^ 3a) (s ~] <- b) Q 3a) (a? *- b)

74. (“| Va) (a <- b) H (Ba) (a ~| <- Ь) V (3a) (a? <- b)

75. (П Va) (аП^Ь)Н (За) (a <- b) \/ (3a) (a? <- b)

76. СП За) (a Ь) H (Va) (a J Ь) V (3s) (a? <- b)

§ 7. Расширения теории предикации

Теория предикации может быть расширена, если учесть строение субъектов и предикатов. Это мы покажем ниже. Здесь мы хртим обратить внимание читателя на следующее обстоятельство, которое в какой-то мере оправдывает употребление названия «комплексная логика» применительно к излагаемой концепции. Построение логики есть .процесс, протекающий в различных планах («измерениях»), так что построить логику как одну систему по образцу Ss, Scq и т. п. (в одной «плоскости») невозможно. Кроме того, логические системы остаются всегда незамкнутыми в том смысле, что определенные в них операторы остаются неопределенными относительно их комбинаций с другими возможными операторами, отсутствующими в этих системах.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

ТЕОРИЯ ТЕРМИНОВ

§ 1. Термины

Системы теории терминов 5J образуются благодаря излагаемым в этой главе дополнениям к ранее рассмотренным системам. Эти системы рассматривались в [4—5]. Излагаемая ниже теория терминов есть лишь набросок и ориентир для отыскания возможной теории, которая может быть обработана в соответствии с правилами логической техники.

Алфавит?

1) простые предикаты и субъекты;

•  2) sc — универсальный субъект («объект»);

3) рс — универсальный предикат («признак»);

4) —— двухместный предикат включения одного термина в другой по значению.

Di. Предикат:

1) простые предикаты суть предикаты;

2) если а¹,..., ап (п 2) суть предикаты, то (а¹-... ... -ап), (а¹ V ... Vап), (• (а¹,..., ап)), (V (а¹,..., ап)) суть предикаты;

•  3) если а есть предикат, то ~ а и а суть предикаты;

4) "если х есть высказывание, а а — предикат, то а \ х есть предикат;

5) если х есть высказывание, то х | есть предикат;

6) нечто есть предикат лишь в силу 1—5.

Символ мы не включили ъ Di потому, что это простой предикат, и он охвачен пунктом 1. '

2)2. Субъект;

1) простые субъекты суть субъекты;

- 2) если а¹,..., ап (п 2) суть субъекты, то (а¹-...-#⁷*), (а¹ V - V «”)> (• (в¹. — , a")), (V (а¹»--, а")) и (а¹ ап) суть субъекты;

3) если а есть субъект, то и а суть субъекты;

4) если х есть высказывание, а а есть субъект, то а | х есть субъект;

5) если х есть высказывание, то | х есть субъект;

6) если а есть субъект или предикат, то [а] есть субъект;

7) нечто есть субъект лишь в силу 1—6.

7)3. Субъекты и предикаты (и только они) суть термины.

Определения D1 и D2 отнюдь не исчерпывают всех возможных субъектов и предикатов. Они означают только Фо, что в данной главе будут рассматриваться только такие термины. В следующей главе, например, мы будем рассматривать термины, не охватываемые определением 7)2. Как «читаются» введенные в 7)х и Т)₂ термины, об этом сказано во введении. Приведем лишь несколько поясняющих примеров. Пример для различия а и ~а: «стол» — «не-стол» («не являющийся столом», «не называемый столом»). Примеры для различия а и а: «знание» — «незнание», «умение» — «неумение», «возможность» — «невозможность» и т. п. Термином (ab) может обозначаться не всякий предмет, называемый а, и не всякий предмет, называемый Ь, а лишь такой, который может быть назван и а и Ъ. Например, не всякий писатель и не всякий художник есть писатель и художник (писатель — художник) одновременно. Термин (• (a, b)) имеет смысл не сам по себе, а лишь как часть высказывания. Так, в предложении «Писатель и художник создает духовные ценности» имеется в виду то, что как писатель, так и художник создает духовные ценности (т. е. каждый из них). Указать предмет, который обозначает термин (• (a, b)) независимо от его роли в высказываниях, невозможно. Это — термин иного типа, чем (ab). Аналогично для соотношения терминов (а \/ Ь) и (^/(б, &)). На смешении терминов рассматриваемого типа безируются многочисленные недоразумения и затруднения как в операциях с языком, так и в исследующей^эти операции логике.

Высказывание о том, что термин а включается по значению в термин Ь, будет иметь вид

(lai, U*])M-).

JB дальнейшем для упрощения будем квадратные скобки опускать, полагая, что в формулах с предикатом —» они всегда предполагаются, и будем вместо приведенного выше символа употреблять более наглядный символ

а Ъ.

Знак конъюнкции будем опускать на тех же основаниях, что и в общей теории дедукции.

Символ а —Ъ можно пояснить так: каждый предмет, обозначаемый термином Ь, может быть обозначен также и термином а. Например, таково отношение пар терминов «Геометрическая фигура» и «Треугольник», «Равносторонний четырехугольник» и «Ромб». Символ а —*• Ъ читается так же, как «Ь есть а». Так что теорию терминов можно рассматривать как теорию высказываний со знаком «есть».

D4. Будем в качестве сокращения для (а —*• Ъ) (b —а) употреблять символ а Ь.

§ 2. Общая теория терминов S*

Аксиомные схемы 41:

1. |— '—(L ’s'— d

2. |—• cl db

3. ^ |— ab ba

- 4. j— (ага² . . . an) b,                                     -

Где b отДи^аётёя от йха²...лй лишь какой-то раССтайовкой скобок, удовлетворяющей D1 и D2.

5. |--(ab) (— а\/ — Ъ)

6.   (а-^Ъ) —>(— Ъ—^ — а)              §

7. |— (а b) (Ъ —* с) —* (а e)

8.   (а e) (b-^e)-> (abe)

10.   (а

11. | (аЬ)^(а\/ Ъ)

12. |— (—а-^а)

Некоторые теоремные схемы:

71. |— а \/ а

72. |— а^а

7*3. |— dd d

74. |— (ad с) —> (а с)

75. |— (а Ъ) (а—* с)«-•> (а^ Ь\/ e)

76. |— (аb V с) —> (а—> Ьс)

77. |-»Vb^bVtt

78. |— (а^ Ь) (с d) —:► (а \/ с Ь \/ d)

' 79. |—-fl^aV — bb

МТ1. Если доказуема (а -* Ь), то в а и Ь входит по крайней мере один одинаковый термин.

Справедливость М71 видна из следующего рассуждения. Аксиомы 1—5 удовлетворяют М71. Из доказуемых формул вида (а ab) в соответствии с аксиомами 7 можно получить лишь формулы вида ( а ^аЬ¹... Ьп), а в соответствии с аксиомами 6 -— лишь формулы вида р- ((ab¹...Ьп) ~ а), удовлетворяющие М71. Формулы, получающиеся в соответствии с аксиомами 8, явно удовлетворяют МТ 1.'

Будем приписывать терминам значения 1 и 0 и будем считать, что а —=Ъ равнозначна Ъ а, где а и Ь рассматриваются как высказывания.

МТ2. Все доказуемые в 5} формулы суть тавтологии. Справедливость теоремы легко усматривается из обзора аксиомных схем.

МТЗ. Если (а —=* Ь) есть тавтология такая, что в а и Ъ входит хотя бы один одинаковый термин, то она доказуема.

Справедливость МТЗ усматривается из того, что каждой доказуемой в классической пропозициональной логике формуле & о а (а значит и каждой тавтологии b :□ а) соответствует доказуемая в нашей системе формула Н (а &)•

Аксиомные схемы ЛII:

1.              л², . . . ,

где Ъ отличается от (а¹, а²,..., ап) лишь какой-то расстановкой скобок.

2. Н (а Ъ) (с d) -> ((а, с) (Ь, d))

3. j— ((а, e)   (b, d)) —> (а Ь) {с d)

Аксиомные схемы 4III:

1.

2.

где у образуется из х путем замены вхождения а в х на Ъ.

§ 3. Теория субъектно-предикатных терминов

Система 5? получается путем следующего расширения St-

Аксиомные схемы АТ:

1. (a-^b) (Va) (аа <— с)   (V6) (6а <— с)

2. (а-^6)(Э6)(6а^с)Н(Эа)(аа<-с)

3. (a 6) (с 6) j— (с a)

4. (а^6)(в-|-в)Н(с“|*-Ь)

5. (а^6)(с?«-а)|--(c^b)

Некоторые следствия:

T1. |— (а <—»(6c)) —> (fl <—• 6) (a <— c)

T2. [_(a-|^6)V(a_|^-c)-^(a-|^bc)

T3.    (a <— 6) V (a •«— c) —> (a •«— (6 V c))

T4. H(a-|^-(6V^))-^(a"l*-b)(«⁻l<-c)

T5. |--(a «— 6) —> ~ (a «- 6c)

T6. |--(a ■«— (6 \Z c)) —> — (a <- 6)

Аксиомные схемы АП:

1. |--(a (-66)) .

2. }-(a^6)V(a<--S)

Аксиомные схемы A III:

1. (а «—(-(б, с))) —]   (a<—6) (a«—c)

2. ((-(a, б))^-с)-Ц-(а^-с)(6^-с)

3. (a^-(V(b,c))-^j-(a^-6)V(«^-c)

4. ((V(«> b))<--c)-I^-(a^-e) V(⁶«~c)

5. (fl<—6) —11—(a ] <— 6)

(а-|*-Ь)ЧН(«*-Ь)

(a? <-6)-((-(«?<-6)

6. (Va) (a c) (V6) (6 <— c) |— (V (аб)) ((a6) <- c)

7. П V(аб))((аб)<-с)|-П Va)(a<-с) V (“I V6) (6<-c)

8. (H (аб)) ((аб) с) H (За) (а <- с) (36) (6 с)

9. О Sa) (а ч- с) V (“IЯЬ) (b +- р) |- (~| Я (ab)) (ДО*-с))

10. (Яа) (а<— с) V (ЯЬ) (Ь «-с) —11—(Я (а V &)) ((« V

V &)*-*)

11. П Яа) (а *- с) (“I sr>) (b <- с) —11— (—] Я (а V b)) <(а-\/&)ч-с)

12. (Va) (а   с) V (Vft) (6 <- с) Н (V (а V *>)) ((a Vb)^c)

1£ (П V (а V b)) ((а V Ь) <- с) Н (“I Va) (а <- с) -.(-|Vb)(b-C)   '

14. (Va) (а <- e) (ЯЬ) (Ъ <— с) р (Я (ab)) ((ab) <- e)

15. (~| Я (ab)) ((ab) с) р Q Va) (а <- с) V (1 Lb)' (Ьч-с)

Некоторые следствия:

Tl. 1--(а*-(Й))

Т8. (а <— b) |—   (а «-—• b)

T9. (а<-Ь)р^(в<-Ь)

ПО. (а<-й)Н(а<--b)

Til. |--((a<-b) (a<-b))

Утверждения, аналогичные T8 и TH, для ~b неприемлемы: предмет а может иметь признак, обозначаемый термином b, и другой признак, который не обозначается термином b. И оно недоказуемо в нашей системе. Это, кстати сказать, одна из причин того, почему нельзя принимать

j— (а <— b) (а e) —»(а <— (be)).

Приняв такое утверждение, мы должны были бы принять [— (а <— Ъ) (а  --Ь) -> (а   (— bb))

и согласно Л III и S⁵ принять

|--((а <— Ъ) (а ---b)),

что не соответствует принятому смыслу термина — Ъ.

Аксиомные схемы АIV:

1. Н (а | ж) | у ^(а | у) | ж

2. |— ж->(а^а 4 ж)

3.    (а | ж л), где а не входит свободно в ж или ж доказуема.

4. (| ж^ 4 у)НН(х 1 ^У 1)

5. ]— (| ж^ | у)->(ж->у)(у-*ж)

6. Н (*->(«<-И I))

7. н(«*-(* 4))-*ж

8. Н (® 4 ®) *- (« I)

9. |— ( 4 ®) ( 4 — ж)

D1. аа | J есть сокращение для а | (а а «— Ь), Ьа | а есть сокращение для Ъ | (а а <— Ь), где а означает наличие или отсутствие —, ““] или ?.

Аксиомные схемы AV:

1. |--a^(b-] 4 (рс 4 а))

2. |--a — (b? 4 (Рс I «))

3. I—   в(ь 4 (рс~~I 4 а))

4. [--a-Hb 4 (Рс? I «))

5. Н (аа •*- с) (^Р *— с) —> — (а  Ь)

6. Н (аа <— d) (аР с) —> -s- (6  с) где аир различны (в 5 и 6).

Аксиомные схемы AVI:

1. Н(Рс^а)> где а есть предикат.

2. .|— (sc   я), где а есть субъект.

3. |— sc | (ре | а),^а

4. \—рс\ (sc | а) -ь- а

5. |— (аа <— b) —> (sea | Ь^а)

6. |— (aa <— b) —> (pea | а^Ь)

Аксиомные схемы AVII:

1. (Va) ((ар | b) а <-с) |- (V(аР | Ь)) ((аР i b)a^-e)

2. (V(aP | b)) ((aP 4 b) a e) (Va) ((aP | &)a<-c)

Аксиомные схемы AVIII:

1. (Va)#(V(a | #))y}-(Va)y

2. (Sa) #(V (a | а?)) у |— (Sa) у

§ 4. Силлогистика предикатов

Используя правила образования терминов, можно построить силлогистику предикатов.

Неклассическая система при этом образуется путем присоединения к ранее рассмотренным системам следующих экономных схем:

Ai. (За) (а <- Ь) —|   (Я (sc | b))((sc | Ь)^-(рс | а))

А2. (Va)(aa<-&)4H(V(scP | b))((sc£ | Ь)П<-

♦-(рс | a)) (V(SCT I b))((scr 1 b)"I<-(pc J а)) где а, р и у означают наличие или отсутствие | или?, причем — все они различны.

Классический случай получается из неклассического путем замены схем А2 схемами:

А *2. (Va)(a<-b)HH(V(sd~ | Ь))

<~((sc~ I b)^-(pe I a))

Силлогистика предикатов, как видим, довольно громоздка и неудобна в обращении. Фактически рассматриваемая в логике силлогистика является силлогистикой классов (см. ниже).

§ 5. Определения

Вопросы, связанные с теорией определений, рассмотрены в [3, 4]. Здесь же мы ограничимся лишь несколькими замечаниями.

Определения суть соглашения о том (или намерения считать), что некоторого заданного вида предметы а¹,... ..., ап (n   1) будут терминами такими, что будут верны не

которые заданные утверждения ж¹,..., хт (т 1), в которые входят выражения с а¹,..., ап и предикатом Утверждения я¹,..., хт должны быть подобраны так, чтобы для каждого а¹ были верны утверждения а¹Ь¹ ,...

—=* Ък лЬ¹ V ... V Ьк^а\ гдеЬ¹,..., Ък суть термины, через которые определяется а*.

Утверждения я¹,..., хп, о которых говорилось выше, имеют такой вид. Случай 1: определяется один термин а независимо от других определяемых терминов. Простейший вариант этого случая: 1) а —=Ь; 2) Ъ —* а. Более сложный (общий) случай — рекурсивные определения:

1.           , а<^Ьг(г> 1)

2.            . -(а^с⁸У~>

-^(а-^б/¹)- . . . .(a^d»)(s> 1, t> 1)

3.     • • • V^W¹ V • • • V<F-±a

Случай 2: определяются термины а¹,..., ап (п 2) одновременно так, что одни из них используются при определении других.

.Если определение принято, то утверждения я¹,..., я™, указанные выше, принимаются как доказуемые (или истинные). Так, пусть принято определение: «Предмет а будет термином таким, что а 6 | с». В таком случае принято |— (а Ъ e). Этот принцип позволяет получать следствия из определений. Так, в нашем примере имеем:

,1) |— (а^Ъ | с)— согласно определению;

2) j— ((b J с)<— с) — согласно

3)    (V (b [ e)) ((b | e)<—e) — согласно 5^;

4) H(a^J|c)(V(i|c))((Hc)H-*

—> (Va) (a <— с) — согласно

5) |—(Va) (a<—e) — согласно 1,2 и Slf.

Частный случай определений — определения с переменными, область значения которых суть термины. Они имеют вид намерений (соглашений) считать Ь термином таким, что верно х, если и только если a¹,..., ап (п 1) суть термины такие, что верно у. Здесь х есть высказывание, содержащее b; у есть высказывание, содержащее а¹,..., ап; Ъ, а¹,..., ап суть переменные, области значения которых суть термины.

Правило для таких определений: в самом определении и в вытекающих из него следствиях на место переменных а¹,..., ап нельзя подставлять b и все те термины, которые содержат Ъ или определяются с использованием Ъ. Это правило есть следствие содержащегося в самом определении условия, что а¹,..., ай должны быть терминами независимо от определения Ь (т. е. Ъ в их число не включается). I

§ 6. Логически взаимозаменимые предикаты

D1. Предикаты би с логически взаимозаменимы, если и только если для них доказуемы формулы

1. (а Ь) Н (аа ““] с)

2. (а “|Ь) Н (аа <— с)

3. (а?«-Ь)Н(аа?«-с)

4. (а «— с) |— (аа "“] «— Ъ)

5. (а П с) Н (аа d)

6. (а? <— с) |— (аа? «— b) в неклассическом случае, и доказуемы формулы

1. (аЬ) ~ (аа «г-с)

2. —(а Ь) [— (аа с)

3. (а «— с) |—— (аа <— Ь)

4f.    (а <— с) |— (аа <— Ь) в неклассическом случае (а а означает а, — а или а).

С примерами дедуктивно связанных и логически взаи-мозаменимых предикатов мы встретимся ниже. Аналогичные отношения имеют место, как известно, и для логических операторов. Таковы, например, операторы конъюнкции и слабой дизъюнкции. Для них имеют силу утверждения ху Н х V у, ~ (я V #) Н ~ (*»)> ~ (я V У) Н х\/у^1~~(~х\/~у) ИТ. п. Как мы видели выше, кванторы V и Я связаны и взаимозамени-мы также и в смысле определений для неклассического случая.

§ 7. Логические термины

Логика не ограничивается рассмотрением логических операторов. Она исследует также особого вида термины и правила оперирования ими, не сводимые к правилам для логических операторов. Это — термины существования, модальностей, классов, отношений и т. д. Так как установление свойств этих терминов есть дело логики (а не какой-либо иной конкретной науки), будем называть такие термины логическими.

M aba Девятая

ЛОГИКА КЛАССОВ

§ 1. Классы

Логика классов образуется благодаря излагаемым ниже дополнениям к ранее рассмотренным системам. Системы логики классов рассматривались в [3—5].

Алфавит:

1) ЕЕ — двухместный предикат включения индивида в класс;

2) cz — двухместный предикат включения класса в класс;

3) К — классообразующий оператор.

Предикаты Е и с суть простые предикаты.

D1. Если а есть субъект, то Ка есть термин класса (читается «Класс- а»). Термин класса есть субъект.

Высказывания о включении индивидов в классы и классов в классы имеют вид

(а, Ю)+-(Е=)

(Ка, КЪ) (с)

Мы будем употреблять более наглядные (и общепринятые) символы

а^КЪ

Ка^КЪ

§ 2. Система 8%

Система Si получается путем добавления к Sscq того, что сказано в § 1, и следующих аксиомных схем:

Аксиомные схемы:

Al. (Sa)(a^Kb)j~(^b)(b^Ka)

А2. -(аеХЬ)Н-(ае^^б)

ЛЗ. (а ЕЕ К— б)|— -(леО)

Ai. (а е Кб) (V6) (б G Кс) |- (а 6 Кс)

Л5.   (ае^(а\/ б))

Л6. (Va)(asK6)|-(KaczK6)

47. (KaczK6)|-(Va)(aeK6)

Если 5fc строится независимо от теории терминов, необходимо принять следующие правила замены терминов:

R1. Замена термина ~~ а термином а, и наоборот.

R2. Замена термина ab термином Ъа.

КЗ. Замена термина а термином аа, и наоборот.

Ri. Замена термина a¹-...-aiai+1-...*an(i > 0, п 1) термином a¹‘...-ai(ai+1-...*an), и наоборот.

.R5. Замена термина ~ (аб) термином ~ а\/ ~ б, и наоборот.

Ti. (Va) (а е Кб) (V6) (b е Кс) Н (Va) (а е Кс) Т2. (За) (а е Кб) (V6) (6 е Кс) Н (Яа) (а е Кс) Z3. (Va) (а е Kb) (V — б) — (— Ь Ка)

- Т4. (V~6)~(~6eKa)|—(Уа)(а^Кб)

Z5, |— аб   Ки

Тб. ^-Kac^K(aV6)

Т7. [— К (аб) cz Ка

Примем следующую семантическую интерпретацию (ко-, торая в пунктах 1—3 предложена А. М. Фединой):

1) если а ЕЕ Кб приписывается значение 1, то aS ЕЕ К ~ б приписывается значение 0, значения ~ а ЕЕ Кб и ~ a Ez К ~ б не зависят от а ЕЕ Кб, —б ЕЕ К ~ а приписывается значение 1;

2) если а ЕЕ КЪ приписывается значение 0, то а ЕЕ €Е К ~ Ъ приписывается значение 1, а Ъ ЕЕ Ка — значение 0;

3) если а ЕЕ КЪ и Ъ ЕЕ Кс приписывается значение 1, то а ЕЕ Кс приписывается значение 1; если а ЕЕ ХЬ приписывается значение 1, а Ь ЕЕ Хе — значение 0, то а ЕЕ Кс приписывается значение 0; если а ЕЕ КЪ 'приписывается значение 0, то значение а ЕЕ Кс остается неопределенным, какое бы значение ни приписали Ъ ЕЕ Хе;

4) а ЕЕ К (а\/ Ъ) и аЬ ЕЕ Ка всегда принимают значение 1;

5) (Va) (а ЕЕ ХЬ) я. Ка се КЪ равнозначны;

6) правила замены дают равнозначные высказывания.

МТ1. Все доказуемые в формулы суть тавтологии.

Если принять аксиомные схемы

(a^b)}-(Vb)(b^Ka)

(Vb) (b ее Ха) I— (a-^b),

то некоторые аксиомные схемы Sj окажутся зависимыми в теории терминов, расширенной за счет логики классов.

§ 3. Система 8%

Система Sk отличается от Sk лишь тем, что вместо ак-сиомной схемы А4 принимаются аксиомные схемы:

Л *4. (Va) х(Ъ(Е Ка) |— у,

где у образуется из х путем замены а на b везде, где а входит в х.

Л ²4. я (& ЕЕ Ка) (За) у,

где у образуется из х путем замены Ъ на а везде, где b входит в х.

Аксиомная схема Л 4 получается в Sk как следствие из Л*4. В Sk доказуема также формула

(Ъ е Кс) (Ъ е Ка) Н (За) (а е Кс)

§ 4. Силлогистика классов

Аксиомные схемы А1 — Л 4 достаточны для полной, силлогистики классов. Доказательство этого утверждения дано А. М. Фединой в работе [15]. Для доказательства этого утверждения достаточно взять частичную систему Si.

Аксиомные схемы Si:

А 1. х\--— х

А 2.--х[—х

А 3. ху\— х

А 4. ху\—ух

А 5. (Va)tff— х

А 6. х |— (Яа) х

А 7. (Va)# |--(Яа)—х

А 8. —(Яа)— х\— (¥а)я

А 9. (Va)(aeXb)(Vb)(beXc)|~(Va)(ae/<c)

ЛЮ. (Яа) (а е КЬ) (Vb) (Ь G Яс) Н (^«) (а е Яс)

ЛИ. (¥а) (а е ХЬ) Н (V — Ь) ~ (~ Ь е Ха)

Л12. (V ~ 6) ~ (~ Ь е Ха) Н (Va) (а е ХЬ)

Л13. (Яа)(аеХЬ)|-(ЯЬ)(ЬеХа)

Правила вывода:

XI. Если х\— у и у |— х, то z |—• и, где и получается из z заменой вхождения х в z.на у.

Х2. Если я I/ и I/ |— и, то я z.

ХЗ. Если ж у и. х z, то х |— yz.

Х4. Если у образуется из х путем замены' ——а на а (или а на ——а), то я I— у.

Di. Простой категорический силлогизм есть формула вида

KW (а* е ХЬЛ) К²а² (а¹ е Kbm) Н К³а³ (а¹ е Xb²), где а¹, а², а³ означают наличие или отсутствие отрицания; К¹, К², К³ суть кванторные группы; 3, к 3, I <1 3, W 3; высказывания а* Xbfc и а¹ ЕЕ ХЬ™ различны.

MTi- Если простой категорический силлогизм х\—у есть тавтология, то х у доказуема в Si.

Доказательство МП. Посылка х |— у может иметь вид

la. (Va)(aeXc)

Id. (0а)(аеКс)

lc. (Va)-(aeKc)

ld. (Яа)^(аЕКс) 2а. (Vc)(ceXa) 2d. (Яс)(се^) 2с. (Vc) — (с е Ха) 2d. (Яс)-(сеКа)

За. (V6)(beXc)

3d. (ЯЬ)(Ь<еХс)

Зс. (V6)~(6eXc)

3d. (ЯЬ)-(ЬеХс)

4а. (Vc)(ceXb)

4b. (Яс)(сеХ6)

4с. (Vc) ~ (с ЕЕ Xfc) 4d. (Яс) — (сей)

Заключение х |— у может иметь вид:

5а. (Va) (а е ХЬ)       5с. (Яа) (а е Xb)

5b. (Va)-(аеXb) 5d. (Яа)~ (а еXb)

Всего возможно 512 простых категорических силлогизмов. Нам достаточно рассмотреть 256, поскольку остальные 256 получаются из них согласно А4. Кроме того, имеют силу следующие правила, сокращающие число рассматриваемых случаев.

2?*1. Если заключение простого категорического силлогизма х у имеет вид 5b или 5d, и если х |— у принимает значение 0, то простой категорический силлогизм, отличающийся от него только тем, что заключение его имеет вид соответственно 5а или 5с, также принимает значение 0 (это очевидно из того, что (Va)& имеет значение 0, если (Яа)х имеет значение 0).

.R*2. Если один из конъюнктивных членов посылки простого категорического силлогизма х |— у имеет вид ia (r — 1, 2, 3, 4) или r'c, и если х |—• у имеет значение 0, то простой категорический силлогизм, отличающийся от него только тем, что соответствующий конъюнктивный член посылки имеет вид ib или, соответственно, id, точно так же имеет значение 0 (это очевидно из того, что (Яа)х’ имеет значение 1, если (Ча)х имеет значение 1).

Путем пересмотра всех простых категорических силлогизмов устанавливаем, какие из них могут принимать значение 0 и какие нет (т. е. являются тавтологиями). Так, формулы вида

1а-3а|-—5Ь la-4a|— 5d 2а-3а[—5а

могут принять значение 0, а формулы

la 4а |— 5а 1a-4ej—5e суть тавтологии. Одним словом, устанавливаем, что тавтологиями являются лишь 19 модусов, категорического силлогизма. И все эти модусы доказуемы в Si. Для доказательства необходимо производное правило 7?*3 и предварительные теоремы L1 — L5.

Производное правило:

7?*3. Если я—| |—у, то     —|f—

[Я1, Л1, А 2, 2?5, Л4]

Предварительные теоремы:

LI. (Va)   (a ЕЕ 7£Ь) —11—' (Va) (a s L   fc)

[-411, -412,   3, 7?2, 7?4]

L2. (Va)(ae^)HH(V-6)(-JeK-a) [7?4, ЛИ, Л12, LI]

L3. (V — b) (— b^ L —a) |- (Va) (a Lb) [L2, L2, L3]

L4. (3a)—(a^Lb)->|-(Sa)(a^L —b) [LI, L4, Л7, Л8, Л1, Л2, Л⁵3, 7?2, 7?3]

L5. (Va)-(aEKb)HH(Vb)—(beLa) [LI, 7?4, L2, L2, L3, Д5] Модусы простого категорического силлогизма:

Tl. (Vc) (с s КЬ) (Va) (а s Lc) |- (Va) (а s Lb)

[7?2, 49, R1, 44, Д5]

Т2. (Vc)~(сеLb)(Va)(asLc)f-(Va)~(«ELb) [A9, LI, L2, Д2- Д5]

T3. (Vc) (c s Lb) (Яа) (a s Lc) f- (Яа) (a s Lb)

[44, 410, LI, Д2, Д5]

T4. (Vc)~(cELb)(Яй)(asLc)[— (Яа) — (aSLb) [47, A8, LI, T3, L2, L4, 7?5]

. T5. (Vb)~(6gLc)(Va)(asLc)(Va)~(aELb) [A7, 48, L2, Tl, L2, L4, R5]

T6. (Vb)(bsLc)(Va) — (asLc)|-(Va) —(asLb) [Al, 42, LI, T5, Д1, Д4, Д5]

T7. (Vb) — (bsLc)(Яа)(aSLc)[-(Яа) — (asLb) [T4, L5,L4, Д5]

T8. (Vb)(bsLc)(Яа) — (asLc)|— (Яа) — (aSLb) [41, A2, A7, 48, Tl, LI, R2, Ri, Л5]

T9. (Vc) (c s Lb) (Vc) (c s La) [- (Яа) (a s Lb)

[43, 45, 46, 413, T3, LI, L4, L5, L6)

T1O. (Vc)- (csLb) (Vc) (csLa)|- (Яа) — (asLb) [47, 48, T9,L1,L2,L4, Д5]

Til. (Яс) (cs Lb) (Vc) (c s La) (Яа) (as Lb)

[410, 413, L2, L4, L5)

T12. (Vc) (c s Lb) (Яс) (c s La) H (Яа)(а s Lb)

[413, T3, L4, L5[

T13. (Яс) — (csLb)(Vc)(csLa)|-(Яа) — (asLb) [47, 48, TH, LI; L2, L4, L5[

T14. (Vc) — (csLb) (Яс)(csLa) (Яа) — (asLb) [47,48, T12, LI, L2, L4, L5)

T15. (Vb) (b s Lc) (Vc) (c s La) |- (Яа) (a S Lb)

[46, 49, 413, 45, LI, L2, L4, L5)

T16. (Vb) (bsLc) (Vc)- (csLa) (Va) — (asLb) [L4, L5, T6,L5)

717. (Я&) (b ^Е Ко) (V?) (с   2£л) |— (Эл) (л ^Е КЪ)

[Я4, Д5,711, 413]

'718. (V6) ~ (Ь е Le) (Ve) (c La) (Ял) — (л е Lb)

[Л4,Я5,710,£5]

719. (Vb) ~ (Ь е Le) (Яс) (с е Ls) Н (Эл) ~ (л е Lb)

[Д4, Д5, 714, L5]

Теоремы — 719 суть соответственно модусы Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Cesare, Camestres и т. д.

В силу непротиворечивости остальные простые категорические силлогизмы недоказуемы.

D 2. Категорический силлогизм есть формула вида

KW (л¹ е Lb^)_____.... Knan (л" ее Lb") Ка (л е Lb),

где и 2, и все л* ЕЕ Lb^ попарно различны.

М72. Если категорический силлогизм х\— у есть тавтология, то х Ну доказуема в Si-

Теорема МТ2 доказывается методом математической индукции по числу конъюнктивных членов в посылке. Базисный шаг, когда п = 2, уже доказан выше. Пусть теорема верна для п членов конъюнкции. Рассмотрим категорический силлогизм А

х*х². . . хп+¹    х.

Возможны два случая. Случай 1:

х¹- . . . -хп\— х

есть тавтология и, согласно допущению, доказуема; очевидно, будет тавтологией и доказуемой формула А. Случай 2: указанная в случае 1 формула не есть тавтология. В этом случае может быть найдена такая z, что

ж¹- . . . *хп|— z      zxn+1 \—х

суть тавтологии и доказуемы, причем — вторая формула есть простой категорический силлогизм. Отсюда получаем, что будет доказуема А.

§ 5. Силлогистика классов

и силлогистика предикатов

Имеет место связь силлогистики классов и классической силлогистики предикатов. Она устанавливается, в частности, аксиомными схемами:

(а (х I)) —\   (a GE К (sc | х)).

§ 6. Квазиклассический случай

в теории кванторов*

Примем аксиомную схему:

41. J— а^КЬ.

Из 41 следует:

Tl.H(Va) (а Ег КЬ)

Аксиомная схема 41 означает допущение того, что области значения всех простых субъектов совпадают,-— допущение, лежащее в основе классического и интуиционистского исчислений предикатов. Лишь при условии такого допущения в этих исчислениях оказываются общезначимыми и формулы вида (Va) (а <— b)        Ъ) и

(c<- b) D (3s) (s b).

Благодаря 41 на уровне систем цвазиследования будут доказуемы формулы (Vs) (а <— Ь) [— (с Ъ) и (с Ъ) |— j— (Яа) (а <— Ь), в общем случае — формулы (Va)x |— у и у\— (Яа) ж, где у образуется из х путем замены вхождений а в х на с.

В самом деле, согласно Si доказуемы (Vs) (s <— b). -(i7 e Ka) |— (с Ь) и (c b) (c s Ka) p (3s) (s <- b). (согласно 41 и по правилу квазиследования получим Vs) (s b) (с Ь) и (c b) j— (3s) (s d).

§ 7. Классы классов

Термин «класс» (будем употреблять буквы kl) интуитивно означает следующее: если а есть термин, то Ка есть kl, т. е. (kl —Ка). Отсюда получаем, что если а есть термин, то    (VjКа) (Ка s Kkl). Однако это рассужде

ние содержит ошибки.

Прежде всего надо различать термин «класс» (буквы kl) и классообразующий оператор «класс» (буква К), который термином не является. Определение же термина kl имеет такой вид.

Di. Пусть kl будет термином таким, что если а есть термин, то (kl —Ка). Поскольку (kl —* Ка) |— (уКа) (Ka^Kkl), определению можно придать такой вид:

D*i. Пусть kl и Kkl будут терминами такими, что если а есть термин, то |— (У Ка) (Ка ЕЕ Kkl).

Выражение «Пусть kl будет термином» имеет определенные логические свойства: оно превращает вещь вида kl, которая до этого и независимо от этого не была термином, в термин. И выражение «если а есть термин» благодаря этому позволяет в качестве а брать только такие вещи, которые уже являются терминами или становятся терминами независимо от принятия Di. Короче говоря, Di есть определение с переменной, правило для которого указано выше. Роль переменной здесь играет а (область ее значения — термины, не зависящие по значению от kl).

Согласно правилу построения определений такого типа из Di не может быть получено следствие «Если а есть термин, то kl —Ка (или Ка ЕЕ Kkl; или (Va) (kl —Ка)-, или (Va) (Ка ЕЕ Kkl))», где а есть любой термин, в том числе — термин kl. Не могут быть получены и утверждения kl —* Kkl и Kkl ЕЕ Kkl. Из D1 может быть выведено лишь такое утверждение:

MTi. Если а есть термин, не зависящий по значению от kl (т. е. значение которого может быть установлено без Di), то kl '-» Ка (то Ка е Kkl).

Вопрос о том, как быть с упомянутыми выше утверждениями, зависит от внешних для них обстоятельств: они могут быть приняты или нр приняты как аксиомы в зависимости от того, нужно это или нет, и в зависимости от того, приведет это к противоречиям или нет.

§ 8. Парадокс класса нормальных классов

Выражение «нормальный класс» (или «нормальное множество») определяют так: класс называется нормальным, если и только ес^ли он не является элементом самого себя. Это определение непригодно потому, что в нем явно не выражено то, что класс есть всегда класс чего-то. Примем определение, устраняющее этот недостаток:

Di. Если а есть термин и при этом — (Ка ЕЕ: Ка), то Ка будем называть нормальным классом (вместо выражения «нормальный класс» будем писать буквы пк).

Выражение «Будем называть» имеет логические свойства, которые выражаются в случае с Di таким образом:

D* 1. Пусть пк будет термином таким, что пк^ Ка (или Ка ЕЕ Кпк), если и только если а есть термин и при этом ~ (Ка е Ка).

Здесь опять-таки имеет место определение с переменной: роль переменной здесь играет буква а; область значения а — термины, не зависящие по значению от пк.

При получении парадокса класса нормальных классов забывают (или не замечают) того, что на место а не может быть подставлен термин пк и любой другой термин, определяемый через пк, и определению придают вид утверждения А: если а есть термин, и ~ (Ка ЕЕ: Ка), то Ка ЕЕ ЕЕ Кпк; если а есть термин и Ка ЕЕ Ка, то ~ (Ка ЕЕ Кпк). Подставляя на место а термин пк, получают утверждения В: если — (Кпк ЕЕ Кпк), то (Кпк ЕЕ Кпк); если (Кпк ЕЕ ЕЕ Кпк), то ~ (Кпк е Кпк).

Но утверждение А неверно. Верным будет такое следствие Di: если а есть термин, не зависящий по значению 6T nk, и — (Ка ёЁ Ка), тб Ка е= Кпк' если Ка ЕЕКа, то при том же условии относительно а будет ~ {Ка ее Кпк). А так как пк зависит по значению от самого себя (мы не можем знать значение пк, не определив пк), получить утверждение В нельзя.

Вопрос же о том, принимать или не принимать утверждение пк * Кпк (и вытекающее из него следствие Кпк ЕЕ ЕЕ Кпк), остается открытым. Оно безразлично по отношению к D1 в том смысле, что, приняв пк —*■ Кпк и Di, мы еще не можем получить отсюда логическое противоречие. Противоречие не получится и в случае, если мы примем Di и ~ {Кпк ЕЕ Кпк) и вытекающее из него следствие ~ {пк Кпк)).

§ 9. Производные классы

Расширим понятие «термин класса».

Di. Термин класса:

1) если а есть субъект, то {Ка) есть термин класса,

2) если {а) есть термин класса, то {а) есть термин класса;

3) если а и Ъ суть термины классов, то {a) J (b) и {а) П (b) суть термины классов; аналогично если а¹,... ..., ап суть термины классов, то (а¹) (J (а²) U ••• U (#п) и (а¹) П (а²} П ... (аП) суть термины классов.

Принято называть (а) дополнением к {a), {a) J (Ъ) — суммой (а) и (b), (а) Q (Ъ) — произведением {а) и (Ь).

Примем аксиомные схемы:

А1.\-(Ка)^(К~а)

А2. Н ((Ка) U (КЪ)) ^{К{а\/ Ъ))

Н((^х) U (Ка*) U ... U К{а^))^(К{а¹\/а^\/...

АЗ.\-{{Ка) П (Kb))^{K{ab))

[-((Ка*) А (Ка*) А ... А (Кап)) (К (а№. . .а»)) .

Очевидно, знаки —, (J и П обладают свойствами, аналогичными —, \/ и • (при соответствии и —| (—).

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ

ЛОГИКА СУЩЕСТВОВАНИЯ

§ 1. Экзистенциальные предикаты

Предикат существования («существует») является простым (с точки зрения логики) предикатом. Будем изображать его символом Е. На него распространяется все, что верно в отношении предикатов вообще. Но он обладает некоторыми специфическими свойствами, которые, являются предметом внимания особого раздела логики. Смысл предиката существования в каждой науке устанавливается определенными способами. Эти способы поддаются, надо думать, обобщению и классификации. Но для нас здесь достаточно знать, что такие способы имеются. Рассматриваемые в логике правила от них, однако, не зависят.

Через Е можно определить другие предикаты, кото^ рые точно так же относятся к числу экзистенциальных, в частности — предикат «универсально». Будем изображать его символом С7. Предикаты Е и U являются логически взаимозаменимыми. Первый из них категорически сильнее второго.

Высказывания, содержащие экзистенциальные предикаты, суть экзистенциальные высказывания.

Системы логики существования рассматривались в [3—5].

В дальнейшем для упрощения записи высказывания а <г- Ь, a ““I   6 и а? Ъ будем изображать символами

соответственно b (а), "~| Ь (а) и ? Ъ (а).

§ 2. Система Sen

Алфавит:

1) Е — предикат существования;

2) U — предикат универсальности. Аксиомные схемы Al:

1. L«...,<r")^-L(ai) ..... L(a")

2. E(al)..... £’ (an) \-E(a\ ...,an)

3. ~]E(a\ ..,,a”)|--]JE(a¹)V... V“1^W

4. “] W) V • - .-V~|b'(en)H "1 W, .. .,a")

5. U (a\ ... ,an)\—U (a¹) ..... Z7 (an)

6. cz (a¹) • ... • U (an) H U (a¹,..., an)

7. “| U (ai) V • • • V “I U (a") |—J U (ai)V-.-VW («")

8.     C7 (ai,..., an) H ~1 (a‘,..., an)

Аксиомные схемы АП:

1. E(a)~]E(a |            I b)

2. £(a)?£(a b)>-L(a? | b)

3. E(a)~E(a | 6)|(a — z b)

Аксиомные схемы A III:

1. (Яа) E (a) f— E (a)

2. ~2?(a)H(Va)~£(a)

Аксиомные схемы A IV:

1. tf(a)|~-|£(~a),   t/(| x)H“|E(| ~x)

2. -\E^a)\-U{a),     £(J ~x) U (| x)

3. -]C7(a)H«(~«),   -]C7(| x)H^(| ~x)

4. Я(~а)|--|^(а).

5. (Z(a)^-L(a),

Аксиомные схемы A V:

1. |—“|^(~ ad)

2.      | E (ad)

Аксиомные схемы A IVr

1. (Яа)ж|— Е(а | х)

2. Е (а | х) (Яа) х

3. С⁻] Яа) х ”] Е (а | х)

4. ~| Е(а | х) |— (~| Яа) х,

где (в схемах 1—4) предикат Е не входит в х.

Аксиомныехсхемы А VII:

1. E(ab)[-E(a)E(b) Е( Цжу))|- Е( | х) Е (| у)

2. E(a\/b)-\\-E(a)\/E(b)

*)V£(I У)

3. -|JE(a)V_l^(b)H_|^(ab)

-]Е(|        I0HWK*V))

4. -|E(aVb)4H“|£(a)“|S(&)

У) z

5. U(a)E(b)\-E(ab) ' Uх)ЕЦ у)\-Е(Д(ху))

6. U(a\/b)y-U(a)\/E(b) U( Цх W)H   ! ®)V

V^(U)

Аксиомные схемы A VIII:

1. x\— E( | x)

2. U([ x)[-x

3. E (| x) f— E (a | x)

4. E(a | x)\— E( | x)

где (в 3 и 4) a входит свободно в х.

5. Е (а | х) (— Е (а)

6. ~] Е (а) [— —] Е (а | х)

1.1Е{а)\--Е(а\х)

где (в 5—7) Е не входит в х.

Правило вывода:

R1 Если |— х, то U (| х).

§ 3. Некоторые следствия в S„

1. E(abc) |—Е (а)

3. U(ab)-{\-U(a)U(b)

4. ~\Е (а)У ~]Е (Ъ)У~\Е (с)[--]Е (abc)

5. f-(а ^ &)£(/>)-> Я (а)

6. \-(a^.b)~]E(a)->~\E(b)

7. |-(а-^Ь)?£(а)->~£(5)

8. |— | E (~ aab)

9. l-£7(a>/ —a)

10. H£7(aV~«Vb)

11. ~ £( | ж) —'X

12. £7(а)НП^(~«)

13. ~]£(~а)|-Я(«)

14 ~£(а)|-~£7(а)

15. г7(а)Н^(а)”1^(~а)

16. /7(| ж) I-“| £7 (| — L)

17. (Va)a:I-"IL(a | — ж)

18. (“] Va) x E (a | —x)

' 19.

20.

21.

22. 1—^(1 (rry-^M))

23..i-⁻!^ ;(®-*~®))

24. U (a) |— (Va) ~ E (— a)

25. |--(? Ла) £ (a)

§ 4. Теорема универсальности

MT 1. |— £7 (a) доказуема в таких и только таких случаях:

1) если а есть | х, где х есть высказывание, то х есть тавтология (или j— х доказуема);

2) если является тавтологией высказывание а*, которое образуется из а путем замены входящих в него терминов на высказывания (на место разных терминов ставятся разные и на место одинаковых одинаковые высказывания).            х

Для случая, когда а есть | 2, теорема очевидна, ибо доказуемые U ( J х) получаются лишь в силу ВЛ.. Во втором случае доказуемые |— U(а) получаются лишь в силу ЛУ, Л1У1и A IV2. То, что доказуемой |— U (а) соответствует тавтология а*, очевидно. С другой стороны, если а есть тавтология, то ее каноническая форма \/ ... \/ аь есть тавтология. Но в общей теории дедукции доказуемы формулы ах V ••• V I" а1 V fli и     V а1 Н

|— ах V ••• V Следовательно, формула ах \/ ~ аг есть тавтология. Но в нашей системе доказуема формула t— CZ f (ai V — ах)), что и требовалось доказать.

§ 5. Кванторы и предикаты существования

Из аксиомных схем 4III и АVI вытекает следующее важное следствие:

1) формулы с кванторами всегда могут быть заменены на бескванторные формулы с предикатами существования;

2) формулы вида аЕ(а) и аU(a) могут быть заменены на формулы с кванторами и без предикатов существования лишь в случаях, когда а (Ъ | х); если же а невозможно представить в таком виде, то элиминировать предикаты существования нельзя.

§ 6. Семантическая интерпретация

Пример следующую интерпретацию:

1) субъектам приписываются значения 1 и 0;

2) Е (а¹,..., ап) равнозначна Е (а¹)(ап);

3) х'-+у равнозначна х :э у;

4) Е (а\/ Ъ) равнозначна Е (а) V Е (&);

5) если а и Ь оба имеют значение 1, то значение аЬ остается неопределенным; если аЬ имеет значение 0, то значения а и & остаются неопределенными; если по крайней мере один из а и Ь имеет значение 0, то аЬ имеет значение 0; если ab имеет значение 1, то а и & имеют значение 1;

6) если один из а и —а имеет значение 1 (0), то другой имеет значение 0 (1);

7)    | х и а \ х равнозначны;

8) если значения а и Ъ равны, то равны значения Е (а) и Е (b), а также значения “”| Е (а) и Е (Ь);

9) если Е (а) и а Е (а \ Ь) имеют значение 1, то Е (аа [ Ь) имеет значение 1 (а означает наличие ”| или ? или отсутствие обоих);

10) если Е (а) имеет значение 1 (0), то а имеет значение 1 (0); если а может (не может) принять значение 1, то Е (а) имеет значение 1 (значение 0);

11)   U (а) равнозначно Е (— а); ""| U (а) равнозначно Е (—a); аналогично для U (| х) и (“] Е (| ~я), ~] U (| я) и Е (| ~ я);

12) (аЗа) Е (а) равнозначно а Е (а);

(аЗа) 2 равнозначно а Е (а | х);

13) если а не может принять значение 1, то ? Е (а) имеет значение 0:

МТ1. Все доказуемые в формулы суть тавтологии (и система непротиворечива).

МТ2. Формулы

Е(а)Е(Ь)НЯ(аЬ), Е(\х)Е(\ у)[-Е(\ (ху))

П£(аЬ)НПЕ(а)УП^(Ь),

~ (аЬ)         V ~ (Ь),

(ж{/)|_-|Л’(| WIG У)

недоказуемы в S„, поскольку не являются тавтологиями.

§ 7. Система

Для классического случая достаточно следующих ак-сиомных схем. Из аксиомных схем Л1 остаются первые четыре. Вместо аксиомных схем ЛИ принимается

Е (а) — Е(а [ х}\-Е(а  ~х)

Из аксиомных схем 4III остается лишь первая. Вместо аксиомных схем ЛIV принимаются:

1. U(a)\--L(—a),  '    U(\,x)\--E(.| ~x)

2.                                    ~x) U (| x)

3. U{a)\-E(a)

Аксиомная схема ЛV принимает вид: j— — Е (— аа). От аксиомных схем Л VI остаются первые две. От аксиомных схем ЛVII остаются первая, вторая, пятая, седьмая и восьмая, а шестая заменяется на такую:

~ЕЦх)\/^Е(Ду) |--Е(|(ху))

Аксиомные схемы Л VII и правило R1 остаются без изменения.

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА

§ 1. Модальные предикаты

Модальные предикаты суть предикаты «возможно», «необходимо», «случайно» и «вероятно (возможно) со степенью». К ним относится все, сказанное о предикатах вообще. Кроме того, они обладают специфическими свойствами, которые фиксируются в логике. Системы модальной логики такого рода, как излагаемые ниже, рассматривались в [3 — 5].

§ 2. Система 8™¹

Алфавит:

1) М — предикат «возможно»;

2) N — предикат «необходимо»;

3) С — предикат «случайно».

D1. Модальные предикаты суть М, N и С и только они.

D2. Высказывания, содержащие модальные предикаты, суть модальные высказывания.

Аксиомные схемы 41:

1. N (| я)|— х

2. х М (| х)

Аксиомные схемы АII:

1. W (| я) |у- И ~я)

2.      я)НАЩ

3. -|*Ц х)\-ма ~х)

4. М([          ~х)

Аксиомные схемы АIII:

1. С (| х) [— М ( | х) М (| — ж)

2. М() я)М(| ~ж)НС(| L)

3. “]С(| ж)j—,М(|          — ж)

4. М(| ®)-|М(| х)Н“|С(| х)

5. ?С(| х)\-М( \ х)?М(| ~®)

6. М([ х)?М([ — х) |_ ? С (| х)

Аксиомные схемы АIV:

1. мц(х\/у))Н>( WW(| у)

2. м(; x)VM(| у)нм(НхуЮ)

3. N([ x)N([y)l-N(<l(xy))

4. ДГ(| в)ЛГ(;У)|-М(4 (av))

5. IV(|(xV»))H^(l У)

6. М(! X) ?.!/(! У)Н?7И(| (ху))

7. V(| x)?V(|i/)H?V(H^))

8. ? М ( [х)? М([у)[-? М( [(ху))

9. ?А(|Ж)?1У(|т/)Н?ЛГ(|(ху))

Аксиомные схемы AV:

1. а(?(а)|-а<2(|(А’(а)))

2. а Ш (Я (®))) Н «?(«), •

где (в 1 и 2) Q есть модальный предикат, а а означает наличие одного из —] и ? или отсутствие обоих.

3. М (а, Ь)\-М (а) М(Ь)

4. М (а) М (Ъ)\—М (а, Ь)

5. N(a,b)]-N(a)N(b)

6. N (а) N (b) Н N (а, Ъ)

7. “| М (а, b) Н ~| М (а) V И > (b)

8. ~~\М(а)\/ ~~}М(Ь)\—~~\М(а, Ь)

9. ~] N (а,- Ь) ~12V (а) V ”I (Ь)

ю. nw(a)vn#(b)H"WM)

Аксиомные схемы Л VI:

1. (?(Н(аКа)ж))|-(аКа)<?ил)

2. (аКа)^(|а:)Н^(1((«Ка)а;)),

где Q есть модальный предикат, К есть V или Я, а а означаем наличие ““] или ? или отсутствие обоих.

Аксиомные схемы ЛУП:

1.

2.

3. (x-*y)N( [x)[-N( I у)

4. (х->у)М([х)\-М([у)

5. \х-+у)~^М{           \х)

6-          U)H“I^( I*)

1. (х-+у)?М(],у)\--М(\х)

8. (^j/)?2V(U)|--N(\x)

9. МЦх)М(1у){х^Гу)(у-]^^х)\-М(1(ху)) Аксиомные схемы АVIII:

1. (аЯа) М (а)[—а.М (а)

2. а М (а) |—(аЯ а) М (а)]

Аксиомные схемы АIX:

1. а<?(|ж)НЛГ(|(а(?(|-r)))

2. М(Ца^(;«)))Н«9(|ж),

где Q есть модальный предикат, а а есть или ? или отсутствие обоих.

Правила вывода:

R1. Если х |— у, то N (| х) р N (| у).

R2. Если х |— у, то М ( [х) |— М (| у).

§ 3. Некоторые следствия

71.

72. М(\ху)\-М(\х)М(\у)

ТЗ. С(\(ху))[-М(Дх)М(\у)

74. -|N(l(xy))\--[N(lx)yiN(ly)

75. ~1N(1 x)y-\N([y)l--\Na(xy))

76. ЛГ(4х)НПС(|®)

77. -|С(|Ж)НЛГ(|Ж)

78. аС(|ж)|-М( \х)

79. 2V( Jz)f-MV(|a:)

710. M(\,x)\-NM(\x)

711.

712. МА( \,х)\-М(\х)

713.                  M

714. ?ЛГ(| (xy))[-(?N( I x)y?N(\ у))-

-/)

715. ?1И(| (^))H(?M(|®)V?M(U)).

~-\М(\ х)~-\М(Ду)

§ 4. Модальные операторы

Слова «возможно», «необходимо» и «случайно» могут играть роль логических операторов. Будем для этой цели употреблять символы соответственно М, N и С.

Система 8™а, определяющая свойства модальных операторов, получается путем добавления к 8„¹ таких акси-омных схем.

Аксиомные схемы AI:

1. (aQa) х |— aQ (a | х)

2. aQ (a | x) (aQa) x

3. (aQ (a, b)) L (aQa) L (aQb) ж

4. (aQa) ж (aQb) x |— (aQ (a, b)) x

5. (aVa¹)... (anQnan) x |— (c^QW) x • .'. • (anQnan) x

6. (a^a¹) ж •... • (anQna") x |— (o^Q’a¹).... (anQ”an) x, где Q, Q¹,..., Qn суть модальные операторы, «, a¹,..., a” означают наличие | или ? или их отсутствие, Q есть модальный предикат, соответствующий Q (если Q есть М, то Q есть Мит. д.).

Аксиомные схемы АП:

1. (aQa) х s— (aQ6) х,

где а и Ь свободно входят в х, а Q есть модальный оператор.

2. (Ma)x(N(a | ж))ур- (Ma) у

3. (Na) х (N (а ж)) у}— (Na) у

Аксиомные схемы АIII:

1. (aKa) (PQ&) х [— (аКа) ((3Q6) х)

2. (аКа) ((PQ&) ж) |— (аКа) (PQ6) х

3. (Qa) х (V (а | а)) у [— (Qa) у,

где Q есть модальный оператор, К есть V или Я, а и 0 означают или ? или их отсутствие.

§ 5. Интерпретация

Примем следующую интерпретацию:

1) если х приписывается значение 1, то М (приписывается значение 1; если М ([х) имеет значение 1, то х может принять значение 1; и если х может принять значение 1, то М (| х) имеет значение 1; если М (| х) приписывается значение 0, то х приписывается также значение 0;

2)  N (| x) равнозначно “| ЛГ(| — x); ~| N (| x) равнозначно M (—.x);

3) C (| x) равнозначно M (| x) M (— x); —] C (| x) равнозначно M (| x) ~] M (| ~ x); ? С (| x) равнозначно M ( Ц) ? M (| — x);

4) если а и b равнозначны, то равнозначны a Q (a) Ha Q (b);

•5) (a Q a) x равнозначно aQ (a | ж);

6) (a Q (a, b)) x равнозначно (a Q a) x (a Q b) x;

7) (a^¹ a¹)... (anQnan) x равнозначно (a         ... -

• (an Qnan) x;

8) если (Qa) x и (N (a|x)) у имеют значение 1, то (Qa) у имеет значение 1; аналогично для (Qa) х, (V(a | х)) у И (Qa) у;

9) (a Ка) H (|"а:) и равнозначно Q (| ((а Ка) я));

10)  (а Ка) (р Q Ъ) х равнозначно (a Ка) ((st Q Ь) х).

МТ 1. Все доказуемые в S%¹ и S™² формулы суть тавтологии.

§ 6. Классический случай

Система S™¹ классической теории модальностей получается из Sn¹ путем исключения формул со знаком неопределенности, замены повсюду внутреннего отрицания на внешнее и исключения повторений и зависимых схем.

§ 7. Основная модальная логика

В современной логике в качестве модальной логики имеется в виду обычно лишь такая часть ее, в которой рассматриваются отношения модальных знаков М и N и операторов •, V» (последний рассматривается как знак следования или «если, то»). В изложенной нами системе можно выделить часть, которая будет выполнять функции модальной логики в традиционном смысле,— основную модальную логику.

1

У

-Система S™® основной модальной логики образуется из таких аксиомных схем и правил.

Аксиомные схемы 8™°:

41. N (| ж) ж

А2.х\-М(\х)

43. N (| х) |- ~] М (| ~ х)

413. ?М(|ж)?М(|У)|-?М(|(ау))

414. /V(|x)H2V(H^(^)))

415. Л/ (|(М (| ж))) Н М (| ж)

Правила вывода:

.Я1. Если ж^—р, то

R2. Если ж |— у, то М (| ж) |— М (| у)

Система 8™° основной модальной логики для классического случая отличается от 8„° тем, что исключаются аксиомные схемы 412 и 413, а аксиомные схемы 43 — 46 заменяются на такие:

лг (4 ж) |— Hs (4 •—■ ж)

— М ( [ —ж) [— А ( 4 ж)

§ 8. Логические модальности

Употребляют выражения «логически возможно», «логически необходимо» и «логически случайно». Введем для этих предикатов символы LM, LN и LC. Их свойства определяются экономными схемами А* и правилом 7?*1:

А* 1. LN([x)\--

А*2.       j ~z)|-LN([x)

A*3. LN(lx)\-N(4x)

A*4 M(\x)\-LM([x)

A* 5. LC([x)\—LM([x)LM([ — x)

Л*6. LM(\x)LM([ — a:) |— Z, С ( | ж) .

jR*1. Если \—x, to |—LN([x).

§ 9. Модальность и существование

Соотношение модальных и экзистенциальных предикатов (помимо аналогии) определено экономными схемэми ЛVI и ЛУ2. Кроме того, имеют силу теоремные схемы:

7'1. Е (4 х) М ( \.х)

7’2. Л'(

7’3. I) (|х)|— 7V (| ж)

7’4. П U            ~х)

7’5. С(Р)НП U (I®)

7’6.

§ 10. Модальность и условность

Формула | М ( [ (х .— у)) |— (ж у) в не является доказуемой (поскольку не является тавтологией), а формула ~ М (| (я — у)) (— (я -> r/) недоказуема в

Так что “| М (| (х— у)) и — М( | (я~г/)) нельзя рассматривать как сокращение для (х—>у).

§ 11. Модальности и кванторы

Имеет место совпадение теории кванторов и теории модальностей в следующем смысле. Пусть (х |—,y)q есть формула теории кванторов, a (n j— у)т — формула теории модальностей. Пусть одна из них образуется из другой путем следующих замен: 1) все вхождения вида (aVa)z заменяются на вхождения (a Na) и (или наоборот); 2) все вхождения вида (аЯа) z заменяются на вхождения вида (a М a) z (или наоборот). В таком случае будет иметь силу теорема:

МТ1. Если (х [— y)q доказуема, то (х j— у)т доказуема; и наоборот.

Справедливость МТ1 усматривается из соответствия определенных аксиомных и теоремных схем и правил вывода модальной логики с аксиомными схемами и правилами вывода теории кванторов.

Будет иметь силу также теорема МТ2, аналогичная MTi, но в которой (х у)т образуется из (х y)q.и (наоборот) путем следующих замен: 1) все вхождения вида (aVa) z заменяются на вхождения вида a N (| z) (или наоборот); 2) все вхождения вида (осЯа) z заменяются на вхождения вида a М (| z).

§ 12. Вероятностная логика

К числу модальных предикатов относятся такие предикаты, в которых фиксируется степень возможности наступления событий или вероятность.-Система S™p вероятностной логики образуется благодаря следующим дополнениям к Sn-

Алфавит: р = а, р > а, р < а, р > а, р а, где суть предикаты вероятности («возможно Со степенью а», «возможно со степенью большей, чем а» и т. д.).

Вместо символов вида (| х) (р = а), (| я) (р > > а) ит. п. будем употреблять более удобные адекватные им общепринятые символы вида р (| я) = ос, р (| ос и т. п. («Вероятность того, что наступит | х, равна а» и т. д.).

Аксиомные схемы S™p:

Al. |— Ор(| x)^l

A2. I— (p(| x) = 0)->“lM( | x)

АЗ. р“|М(|ж)->(р(|а:) = 0)

Д4. I- (/? ( У ж) = 1) -► iv ( I x)

A5. }-N(l *)-*(?(! x) = 1)

A6. НМ(|ЖН(0<p(Tx))

Al. H(0<рЦх))->МЦх)

48. |-лШ ~'®)-*(p(1®)<1)

49. Н(р(|х)<1)^М(| —ж)

410. |—    (x¹ • ...■xn)^min(p( I x¹),..., p( | xn))

411.       (xly ... yxn) >тпах(р( I x¹),..., p( xn))

412. н(®->(р(;ю=«))(р(;х) = ₽)->(р(;Ух

413. н(р( Г(«-*у)) = а)-*(ж->(р( I J/) = «))

414. h(^(P(li/) = ot))-*(Pl(a:^y) = a)

Возможны различные соглашения для установления вероятности событий в случаях, указанных в А12. В частности,

4*12;|—(х—>(/>( |у) = «)(?(|®) = Р)'->(р( [У) = а-Р)

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ

ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ

§ 1. Предикаты отношений

Предикаты отношений суть предикаты вида «первый ближе второго», «первый раньше второго», «первый правее второго», «первый Находится между вторым и третьим» и т. п. Среди них выделяются две группы предикатов:

1) предикаты сравнения;

2) предикаты порядка.

Свойства этих предикатов рассматриваются в логике отношений.

Выражения «способ сравнения» и «способ установления порядка» («способ упорядочивания») здесь не определяется. Заметим лишь, что рассматриваемые ниже правила логики имеют силу лишь при том условии, что эти способы так или иначе известны и являются стандартными для предметов того или иного рода. В частности, в рамках одного и того же утверждения предполагается тождество способов установления порядка и сравнения для всех фигурирующих в них предикатов порядка и сравнения.

§ 2. Логика сравнения

Система S^¹ теории сравнения для неклассического случая образуется благодаря таким дополнениям к ранее принятым системам.

Алфавит:

1) ^> — знак превосходства («превосходит»);

2) <—знак, противоположный превосходству («уступает»);

3) = — знак тождества («тождественно»).

D1. Если а есть предикат, то (> а), « а) и (= а) суть предикаты сравнения.

D2. Высказывания, содержащие предикаты сравнения, суть высказывания сравнения.

Высказывания сравнения читаются так:

1) (а > с) (а, Ь) — «а превосходит (не превосходит, неопределенно превосходит) в по признаку с»;

2) (а < с) (а, &) — «а уступает (не уступает, неопределенно уступает) Ъ по признаку с»;

3) (а = с) (а, fe) — «а тождественно (не тождественно, неопределенно тождественно) Ъ по признаку с».

В дальнейшем вместо символов вида (а с) (а, Ь)9 (а < e) (а, Ь) и (а = e) (а, b) будем для простоты и наглядности употреблять символы, соответственно (аа ( e) b); (а а « с) b) и (а а(= e) b). Предикат с будем опускать, полагая, что в рамках одного и того же утверждения во всех высказываниях сравнения имеется в виду один и тот же предикат с.

Аксиомные схемы АI:

1. Н(аП>в)

2. (а>Ь)Н(Ь"|>а)

3. (а И >Ь)Н ((*>«): («-*))

4. (а ? > Ь) |— (6 ? > а)

5. (а>Ь)(Ь>с)Н(«>с)

6. (а^>Ь) (Ъ = с) |— (а>с)

7. (« —I > &) (& ~1 > с) F- (а —1 > с)

8. (а ? > Ь) (& = с) |— (а ? > с)

9. (а<Ь)Н(Ь>а)

10. («>&)[—(&< а)

11. (а“|<Ь)Н(а>Ь):(а = Ь)

co

p сл w w > £2

(»<®)--|(э<?)~(ч<»)

о He

Сл

1?

(4 (° =)»)Н(э^ё?)(э-^ё») '! (<?(? =)®)-1(э-*[_4)(³->1_®) •;

er

w и 3=1

«4 < L ®) (4 < »))--1 'sj

((» <?)(«<»))--1

(?<o)--! (4 < z») ’£!

(®<9)--1 (4 < ») 'ZL

12. (a >6): (« = b) H (« П < &)

13. (a?<b)i-(b?>a)

-0 o-

II V <2- ©

7. (a b) |— (b^>a)

8. (a>b)H(b<a)

9. (a = b) |--(a>6)~(b>a) .

10. ~(a>b)~(b>a)H(a = b) Аксиомные схемы ACII:

1. (a^^(^c)H(a(>c)J)

2. ^(a^c)~(b<-c)[-(a( = c)b)

§ 3. Логика порядка

Система £„² теории порядка для неклассического случая получается благодаря таким дополнениям к ранее принятым системам.

Алфавит: знаки ^>, и —, как в 5".

Di. Если с есть субъект, то (>c)j «е) и (= с) суть предикаты порядка.

Высказывания, содержащие предикаты порядка, суть порядковые высказывания. Они читаются так:

1) a С> с) (a> K) — «# превосходит (не превосходит, неопределенно превосходит) b по порядку относительно с»;

2) а (< с) (а, Ъ) — «а уступает (не уступает, неопределенно уступает) Ь по порядку относительно с»;

3) a ( = с) (а, Ь) — «а тождественно (не тождественно, неопределенно тождественно) Ъ по порядку относительно с».

Как и в § 2, вместо символов а О с) (a, b), а (< с) (а, &) и а (= с) (а, Ь) будем употреблять более простые и наглядные символы соответственно аа(>с) b, а а (< с) Ь и а а (= е) b. Символ с будем опускать на тех же основаниях, что и с в § 2.

Аксиомные схемы логики порядка имеют тот же вид, что и аксиомные схемы AI логики сравнения, с той лишь разницей, что в них вместо предиката с повсюду фигурирует субъект с. Аналогично для классического случая.

§ 4. Интерпретация

Примем следующую интерпретацию (в пунктах 1—5 знак с есть предикат или субъект):

1) область значения субъектов — множество натуральных чисел;

2) а О с) b имеет значение 1, если и только если значение а больше значения Ь; а ~"| £> с) Ъ имеет значение 1, если и только если значение а равно или меньше значения Ъ\ а? О с) Ъ имеет значение 1, если и только если соотношение а и Ь не известно;

3) а а (< с) Ь равнозначна формуле, стоящей справа от знака следования в схемах соответственно 9, И, 13;

4) а а (= с) Ь равнозначна формуле, стоящей справа от знака следования в схемах соответственно 15, 17, 19;

5) если с¹ и с² различны, то значения а а (^> с¹) b и а а О с²) b независимы;

6) если а с и & ”| <— с имеют значение 1, то значение а больше значения Ь; соотношение значений а и & для пар а <— с и &? <— с, а? <— си 6 с не известно; если а | <— с и 6 —] <— с имеют значение 1, то значения а и J равны; аналогично для пары а? : с и b?

МП. Все доказуемые в принятых системах формулы суть тавтологии.

МТ2. Если с¹ и с² различны, то формулы а а (> с¹) bj— раа (> e²) b недоказуемы, поскольку они не являются тавтологиями. Аналогично — для < и = .

§ 5. Производные термины порядка

Через предикаты порядка, рассмотренные выше, определяется совокупность порядковых терминов «находится между», «структура», «ряд» и т. п. Они рассматривались в работах [3, 7].

§ 6. Система 8г3

Алфавит: R, Rl, R²,... — знаки порядка («до этого», «после этого», «в десяти метрах от», «через три часа» и т. п.)

D1. Если 7? есть знак порядка, a L есть высказывание, то (R | х) есть предикат порядка.

Высказывания вида (7? | х) ( | у) читаются так: « [ х имеет место в отношении R к | х». Например, «Гром прогремел через пять секунд после того, как сверкнула молния». В дальнейшем ради упрощения стрелки будем опускать, полагая при этом, что все употребляемые термины суть термины типа | х.

Аксиомные схемы Згз:

1. — (Rx) у |— (Rx) ~ у

2. (Rx) ~ у |— — (Rx) у

3. (Rx)y(Rx)z[-(Rx)(yz)

4. (Rx) (yz) }— (Rx) у (Rx) z

5. (Rx) у V (Rx) z |— (Rx) (у V z)

6. (Rx) (у \/ z) |— (Rx) у V (Rx) z

7. ((RRc) (R²y)) z j— (R*x) z (R²y) z

8. (R*x) z (R²y) z I— ((Rrx) (R²y)) z

9. ((RYx) V (R²y)) z h- (R'x) z V (R²y) 2

10. (Rlx) z \^ (R²y)z H ((R'x) V (R²y)) -

11. (R(x\y y))z[-((Rx)\/(Ry))z

12. ((Rx) V (Ry))z^(R («V У)) z

13. (R (xy)) z I- ((Rx) (Ry)) z

14. ((Rx) (Ry)) z\-(R (xy)) z

15. (RRc) у (aRR —> bR²a) [— (R²y) x)

§ 7. Упорядоченные конъюнкции и дизъюнкции

Встречаются высказывания вида «х и затем г/», «х и перед этим у», «х и слева от этого у» и т. п. Эти своеобразные упорядоченные конъюнкции нередко употребляются неявно и смешиваются с обычными. Аналогично обстоит дело с упорядоченными дизъюнкциями. Именно на этом смешении базируется, на наш взгляд, исключение некоторых законов классической логики в «логике микромира». В общем случае упомянутые конъюнкции и дизъюнкции имеют вид

х (Rx) у     x\/(Rx)y₉ .

где R есть какое-то отношение порядка («ж и в отношении R к этому у», «х или в отношении R к этому у»).

Для рассматриваемых высказываний не имеют силы формулы вида

х (Вх) у у (By) х ху (Вх)у\~уу (Ву)х

Для них имеют силу лишь формулы вида 41:

1. (х (В'х) у) (аДЧ> -> ЬВ’а) |- (у (В²у) х)

2. (х V у) (аВЧ) -> ЬВ²а) Н (у V (Я²У) х)

В остальном для упорядоченных конъюнкций и дизъюнкций имеют силу правила, аналогичные обычным, например — такие:

Т1. ~(х(Вх)у)-{\--~ху (Вх)~у

Т2. ~(х\/(^)у)Н|--х(Вх) — у

ТЗ. (х у (В*х) у) (В²а) z |— х (В²а) z у (Вгх) у

Примем также аксиомные схемы 411:

1. х (В¹х) у (В²у) z |— (х (Вгх) у) (у (В²у) z)

2. (х (Brx) у)(у (7?²у) z) | х (ВУх) у (В²у) z

3. ху (В'х)у У (В²у) z | (ху (В¹х)у) (у V (В²у)«)

4. (х у (В¹х) у) (у V (7?²у) z) | х у (Вгх) у у (В²у) z

5. ху (В¹х) у (В²у) z | (ху (Вгх)у) (у (В²у) z)

> 6. (x\/{Rlx)y)(y{R'iy)z)\-x\/{Rlx)y{R,iy)z

7. x (Я¹ x) у V (R²y) z (— (х (Rlx) у) (r/ V (Я²*/) 2)

8. (х (R^x) r/) (г/ V (Я²г/) z) (— ж (Я¹^) у \/ (Я²у) z

Обычные (коммутативные) конъюнкцию и дизъюнкцию можно рассматривать как частный случай упорядоченных приняв аксиомные схемы ЛШ:

1. (x(Rx)y-^y(Ry)x)(y(Ry)x->x(Rx)y)\-xy

2. ху (х (Rx) у-+у (Ry) х) (у (Ry) х->х (Rx) у)

3. (х\/ {Rx)y-^y \/(Ry)x)(y \/ (Ry)x-^x\/ (Rx)y)[— \~Х\/У

4. x\/y\~-(x\/(Rx)y^y\/(Ry)x)(y\/(Ry)x^ —>x\/(Rx)y)

§ 8. Логика изменения

Система Sch получается благодаря таким дополнениям к ранее изложенным системам:

Алфавит: => — предикат превращения.

Высказывание (=>) ( [ х, [ у) читается так: «Ситуация, в которой имело место | х (было истинно х), превратилась в ситуацию (или заменилась на ситуацию), в которой имеет место | у (в которой истинно у)». Вертикальные стрелки у высказываний будем для упрощения записи опускать, полагая, что буквы х, у, 2,... суть термины ' \х, | У, [z,... Будем употреблять более наглядную запись высказываний в форме х а => у, где а означает ““| или ? или отсутствие обоих. Выражения «вслед за этим» и «одновременно с этим» здесь не определяются.

Di. Элементарные высказывания изменения суть высказывания Q (а) => “| Q (а) и ~~\Q (a) =>Q (a), где Q есть предикат, и только эти.

D2. Высказывания изменения:

1) элементарные высказывания изменения суть высказывания изменения;

2) если х =4 у и z =4 р суть высказывания изменения, -то (я =4 r/) (7? (2: => г/) (z =4 г?)) есть высказывание изменения при условии, что R (х =4 у) есть «одновременно

с \ (х =4 у)» или «вслед за | (х =4 r/)»;

3) нечто есть высказывание изменения лишь в силу 1 и 2.

Аксиомные схемы АI (символ 7? означает «вслед за этим» или «после этого»):

1. Q (а) (7? (Q (а))) “] Q (а) Н ((? (а)=» ~] Q (а))

2. (Q («)   —| (? (а)) Н (? (а) (7? (<? (а))) “] Y (а)

3. ~| (? (а) (Л (“I (а))) (а) Н (П <2 («) =» <2 («))

, 4. П?(аМ(?(«))|--|?(«)(й(П9(в)))()(а)

Аксиомные схемы АI означают, что предикат превращения (изменения) является производным от предикатов порядка.

Аксиомные схемы АП:

1. (ж ==> г/) |— г/

2. (®~|■“>»)!- (я=> —у)

3. (а: => — у) |— (ж | => г/)

4. (ж?=»г/)Н~а:-—I/

5. — о:г/1— (ж?=>г/)                      . .

Аксиомные схемы АIII:

1. (ж=»г/)(7?(ж=>г/))(г/=>г)|— (x=>z),

где 7? есть «вслед за этим» («затем»).

2. (ж=»г/)(7?(ж=»г/))(з=фр)|— (xz=$yv),

где 7? есть «одновременно с этим».

3. ((ж=^г/)->(7?(ж=»1/))(г=фр))|-(^—

где 7? есть «вслед за этим».

Для классического случая достаточно в экономных схемах Al, All и АШ заменить | на —, а аксиомные схемы AII4 и А115 исключить.

Интерпретация:

1) если х =Ф у имеет значение 1, то х имеет значение О и у имеет значение 1; х ==ф> у имеет значение 0, если у имеет значение 0;

2) х равнозначно у;

3) х?=^у равнозначно —* х — у \

4) (7? (х =>z/)) (у=> z) равнозначно x=^z\

5) (R(x=$y))(z=S>v) равнозначно xz=$>yv.

МТ1. Все формулы, доказуемые в изложенной системе, суть тавтологии (и система непротиворечива).

§ 9. Физическое следование

Система S?h физического следования (рассматривалась в [3, 4]) получается благодаря таким дополнениям к ранее принятым системам.

Условные высказывания вида х а —> (7?я) у суть высказывания о физическом следовании.

Аксиомные схемы АI:

1. (х-> (Ях) у) Н (V (4х)) ((Ях) у)

2. (V(h))((^)jb(^(fe)?)

3. (х->(Ях)у)|-^( I ((Я®)»))

4. ЛГ(4((Ях)у))|-(х^(Ях)1/)

5. (хИ ■-> (Ях) у) Н (3 (| х)) ((Ях) ~ U)

6. (3(|л))((Ях)~!/)Н(ж“|->тУ)

7. (х“|-*(Я®)Ю1-^(4 №)~у))

8. М ( 4 ((Ях) — у)) |—(х | > (2?х) г/)

Следствия АI:

П. (х ? —> (Ях) у) —11— (? V ( 4 х)) ((Ях) у)

Т2. (X ? -> (Ях) у) -4 н ? N (I ((Ях) г/))

ГЗ. (х?^(Ях)у)НН(?³(

Г4. (х?->(Ях)у)Н|-?М(4((Ях)^»))

Аксиомные схемы АП:

1. (ж  (Яхж) у) («Ях- -> &Я²а) |— (— у (Я² ~ у) — ж)

2. (з -> (Яхж) у) (у -> (Я²у) z) ((аЯх&) (ЬЯ²с) (аЯ³с)) J-|— (ж—»(Я³ж) z)

3. (ж->(Яж)у)(у->г) |—(ж^(Яж)г)

4. (ж —> (Яхж) у) (ж —> (Я²ж) z) ((аЯхЬ) (аЯ²с) —>

-* («Я³ (Ь,С))) Н («-► (Я³ж) (yz))

Следствия А II:

Т1. (ж > (Яж) (yz)) —11— (ж (•д®) У) (® (Я®) 2) Т2. (ж-* (Яж)у) V (ж¹-* (Яж) z) j (ж > (Яж) (у V z))

ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ

НОРМАТИВНЫЕ ПРЕДИКАТЫ

Нормативные высказывания суть высказывания, субъекты которых суть названия действий, а предикаты суть выражения «обязательно», «разрешено», «запрещено», «безразлично» ит. п. На эти предикаты распространяются общие правила логики, относящиеся к любым предикатам. Что касается специфических свойств этих предикатов, то в рамках логики можно лишь установить их взаимоотношения. Да и то это будет не столько расширение логики, сколько отнесение нормативных предикатов к определенным логическим типам предикатов (дедуктивно связанных, логически взаимозаменимых и т. п. ).

Система S” нормативной логики образуется благодаря таким дополнениям к ранее рассмотренным системам.

Алфавит:

1) О — предикат «обязательно»;

2) Р — предикат «разрешено»;

3) 3 — предикат «запрещено»;

4) Б — предикат «безразлично»;

5) Н — предикат «необязательно».

Аксиомные схемы АI:

1. О(а)НР(в)

2. -]Р(а)Н“Р(«)

3. ? Р (а) Н — О (а)

Аксиомные схемы /III:

1. О(а)НН~1^(«)

2.

3. ? О (л)   |— ? («)

Аксиомные схемы ЛIII:

1 • (а) Н Н ""l-'P (а)

2. ПЗ(а)НЬР«

3. ?3(а)Н|-?Р(а)

Аксиомные схемы ЛIV:

1. Б(а)НЬР(а)Р(«)

2.

Аксиомные схемы AV:

1. Я(а)ННПО(«)

2. ПЯ(вННО(в)

3. ?Я(а)НН?О(а)

Согласно AI предикаты О и Р дедуктивно связаны, причем первый категорически сильнее второго. Согласно АП предикаты О и Р логически взаимозаменимы. Логически взаимозаменимы также предикаты 3 и Р (согласно ЛШ) и предикаты Я и О (согласно AV). Предикат Б определяется через Р (согласно ЛIV).

Система S” для классического случая получается пу-ем исключения всего, что связано с оператором ?, и замены на ~. Аксиомные схемы Sc таковы:

1. O(a)f-P(a)

2. — jP (а) |--О (л)

3. О (a) HI--Р(а)

4. 3 (а) НI--•Р (а)

5. Б(а)НЬР(«)Р(а)

6. Н (а) —1|--0(a)

Как видим, нормативная логика Сама по себе есть нечто очень тривиальное. Сложности здесь возникают в результате неясности терминологии и неявных допущении. В частности, в случаях употребления нормативных предикатов неявно предполагаются кванторы, которые в логических теориях не выявляются. Например, высказывание «Действие а разрешено» фактически употребляется как «Всякое действие, называемое а, разрешено » (подобно тому, как высказывание «Сумма углов треугольника равна двум прямым» фактически употребляется как высказы вание «Сумма углов всякого треугольника равна двум прямым»).

Собственно говоря, при более полной (чем это сделано у нас) разработке теории терминов (и теории предикации в том числе) должен будет измениться, надо думать, и вид таких разделов логики как модальная и экзистенциальная логика.

приложение

Сформулируем подробнее правила приписывания значений высказываниям с кванторами и формулам следования в случае прямой интерпретации.

Пусть дана формула х\— у. В высказываниях х и у все вхождения вида ~ (а¹а²...ап) (где п 2), ~ (а¹ V V а² \/ ... V ап), ~     ( Я a) b заменяем формулами со

ответственно вида ~ а¹ \/ ~ а² \/ ... \Д— ап, ~ а²... ~ ап, а, ~ (V а) ~ b. Все вырожденные квантор-ные группы исключаются. Полученные высказывания х* и / равнозначны соответственно a: и у, а формула ж |— у равнозначна х* s— г/*. Последующие правила относятся к высказываниям и формулам х, у, ж |— r/, приведенным к виду 2*, г/*, 2*    г/*.

Правила для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания обычные (с той лишь разницей, что дизъюнкции и конъюнкции могут быть сколь угодно местными). Додолнитель-ные правила для кванторов: 1) если вхождению (Va) b в некоторое высказывание приписали значение 1 (или 0), то всем остальным вхождениям (Va) Ъ в это же высказывание точно так же приписывается значение 1 (соответственно 0); 2) если (V а) Ь приписали значение 1, то должны Ь приписать значение 1; если (Va) Ъ приписали значение 0, то этим самым значение Ъ еще не определяется )(оно не зависит в этом случае от значения (V a) b); 3) если приписали Ъ значение 0, то должны (V а) Ъ приписать значение 0; если приписали Ъ значение 1, то значение (Va)b этим еще не определяется.

Правила для формул Следования. Выясняем, можно или нет приписать х значение 1 (или у значение 0) в формуле х |— у в силу правил для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, а также кванторов. Если х есть противоречие (или у есть тавтология) в силу этих правил, то 2 I— у есть тавтология. Если же х не есть противоречие в силу этих правил (я может принять значение 1), а у не есть тавтология, то поступаем так: приписываем х значение 1 (или у значение 0) и рассматриваем последствия этого шага для высказываний, входящих в х (соответственно в у), и затем для высказываний, входящих в у (соответственно в х), и для у (для х) в целом. Например, приписав х значение 1, йы должны приписать обоим а и b значения 1, если х есть- аЪ, приписать Ъ значение 1, если х есть (Va) b, приписать хотя бы одному изаиЬ значение 1, если х есть а\/ Ь, и т. п. В этом случае примем такие дополнительные правила для. кванторов: 4) если приписав х значение 1 (у значение 0)^ мы вследствие этого вынуждены приписать значение 1 (не имеем возможности приписать значение 0) некоторому высказыванию Ь, входящему в у (входящему соответственно вж), то мы должны (Va) b, входящему в у (входящему соответственно в я), приписать значение 1; 5) если же приписав х значение 1 (у значение 0), мы вследствие этого не вынуждены приписывать b значение 1 (имеем возможность приписать ему значение 0), то мы должны (Va) b приписать значение 0.

D1. Формула х |— у есть тавтология, если и только если она принимает значение 1 для всех вариантов (комбинаций) приписывания значений частям х и у по установленным правилам.

Упомянутые в D1 варианты возникают за счет того, что возможны различные комбинации значений а¹,..., ап для случаев, когда а¹ \/ ... V имеет значение 1 и а¹... ...ап имеет значение 0, а также различные комбинации значений (Va) Ъ и Ъ для случаев, когда b имеет значение 1 и (Va) Ъ имеет значение 0.

Рассмотрим два примера. Формулу (Va) (ЯЬ) х

(Я&) (Va) х приводим к виду (Va)~ (Vb) — х\--(Vb)

^(у а) х. Приписываем посылке значение 1. Значит должны (Vb) ~х приписать значение 1, a (Vb) ~х значение 0. Значение ~ х не зависит от (Vb) т. е. можем ему' приписать как значение 1, так и значение 0. Но в таком случае (Va) х имеет значение 0, его отрицание — значение 1, (Vb) — (Vs) х — значение 1, а его отрицание — значение 0. Значит, наша формула не есть тавтология. Формула (Va) х (Яа) у |— (Яа) (ху) приводится к виду (Va) х — (Va) ~ у |--(Va) (~ х V ~ у). При

писав посылке значение 1, мы должны приписать (Va) х и — (Va) — у значения 1, х значение 1 и (Va) — у значение 0. Значит обоим хну можно приписать значение 1, а ~ х \/ ~ у значение 0. Таким образом, (Va) (~ х \/

V ~у) имеет значение 0, а его отрицание — значение 1. Других вариантов нет, а проверка со стороны заключения дает тот же результат. Значит формула есть тавтология.

Примем, далее, определения для прямой интерпретации формул |— х.

D2. Формула |— х есть тавтология, если и только если х есть тавтология.               \

D3. Представительством высказывания х в классе-формул следования будем называть множество формул следования, которые получаются так: 1) х путем эквивалентных преобразований приводится к виду (КЛа¹)... ...(К пап)у, где К?,..., есть какая-то комбинация из кванторов V и Я, а у есть — а, а\/ Ъ или аЪ\ 2) ~ а приводится к виду с V d или cd\ 3) к каждому из а и Ъ в ab применяется 1 и 2; все это делается до тех пор, пока не получится множество формул вида с\/ d\ если а или Ъ есть элементарное высказывание, заменяем их соответственно на а у а и Ъ \/ Ъ\ 4) все эти формулы вида с \/

V d заменяются соответственно на формулы вида ~ с |— d, которые и образуют представительство х в классе формул следования.

Очевидно, для каждого высказывания может быть найдено его представительство в классе формул следования (согласно D3). В дальнейшем условимся, что для установления того, является высказывание тавтологией или нет, мы будем пользоваться методом отыскания его представительства в классе формул следования, т. е. примем следующее дополнение к прямой интерпретации: 5) высказывание имеет значение 1, если и только если все формулы, образующие его представительство в классе формул следования, имеют значение 1.

МТ 1. Высказывание есть тавтология, если и только если тавтологиями являются все формулы, образующие его представительство в классе формул следования.

МТ2, Высказывание (V а) х есть тавтология, если и только если а>есть тавтология; аналогично для (Яа) х.

МТ3. Высказывание (KW)... (Кпап) х есть тавтология, если и только если х есть тавтология (следует из МТ2).

Изложенный способ приписывать значения истинности формулам х\—у и \—х делает излишней гипотезу, согласно которой область значения субъектов (индивидных переменных) непуста.

Рассмотрим систему S⁶cq с аксиомной схемой А5, принятой в §11 седьмой главы.

МТ5. Если х н у доказуема в 5%, то она есть тавтология (очевидно из вида аксиомных схем и правил вывода).

МТ6. Если х |— у есть тавтология, то она доказуема В Scq-

Доказательство МТ6 отличается от доказательства полноты Sscq лишь дополнительными случаями, когда в у фигурирует элементарное высказывание, отсутствующее в х. Если х |— у есть тавтология, то тавтологией будет х\/ ~ zz[— у, где z есть любое высказывание, содержащее все те элементарные высказывания, которые входят в у и отсутствуют в х. Но в силу полноты Scq формула х\/ ~ zz |— у доказуема в S⁶cq, а формула х\— х\/ ~zz доказуема в силу S⁶. Отсюда по правилу транзитивности получаем, что доказуема х\— у.

JtfT7. Если |— х доказуема в Scg, то она есть тавтология (очевидно из вида аксиомных схем и правил вывода).

МТ8. Если |— х есть тавтология, то она доказуема в С6 *3 eg*

Доказательство МТ8: если |— х есть тавтология, то х есть тавтология; если х есть тавтология, то ~ (~уу) |— х есть тавтология и доказуема в 8^*, но j—          до

казуема, значит, согласно S⁶ будет доказуема х.

Таким образом, для имеется процедура разрешимости: 1) если формула имеет вид х у, то достаточно выяснить, является она тавтологией (и в этом случае она доказуема) или нет (и тогда она недоказуема); 2) если формула имеет вид ’ |— х то вопрос о ее доказуемости сводится к вопросу о доказуемости формул, образующих представительство х в классе формул следования, т. е. к пункту 1.

Но система 8%q еще не эквивалентна классическому исчислению предикатов: наше определение тавтологии не совпадает с определением общезначимой формулы для классического исчисления предикатов. Так, формула (V а) Р (cl) zd Р (b) общезначима, но не есть тавтология в нашем смысле. И в S%q не будут доказуемы формулы (Va) Р (а) Н Р (Ь) и H(Va)P(a)DP (6).

Рассмотрим систему Sk, которая образуется так. В определении D2 VIII в пункте 3 остается только субъект, т. е. исключается квантификация предикатов. Принимается S^q с этим^ ограничением и принимаются дополнительные экономные схемы Ак\ (V а) х |— у и 2/Н(Яа)ж> где у получается из х путем замены всех свободных вхождений а в n на Ъ, причем, в х нет вхождений вида (Vb) z и (ЯЬ) z таких, что а свободно входит в z.

Система Sk эквивалентна классическому исчислению предикатов в смысле таких теорем:

MTQ. Формула х у доказуема в 8к, если и только если х zd у доказуема в классическом исчислении предикатов.

Л/ЗГ10. Формула |—- х доказуема в Sk\ если и только если х доказуема в классическом исчислении предикатов.

Построим систему Si с тем же алфавитом и теми же определениями высказывания и формулы следования, что и в Scq, и таким определением доказуемой формулы:

D¹. Формула х [— у доказуема в S¹ (есть формула переименования), если и только если у образуется из х путем замены нуля или более вхождений вида (уa) z и (да) z соответственно на (уb) v и (gb) р, где v образуется из z путем замены всех вхождений а в z на b, причем Ь не входит в z.

Для S¹ имеется процедура разрешимости (она три-вильна и дана в D¹).

Класс формул следования, доказуемых в Sk, теперь можно разбить на три подкласса: 1) формулы, доказуемые в S⁶cq, 2) формулы переименования; 3) формулы, недоказуемые в 6% и 5* (смешанные формулы). Можно строить различные системы, в которых будут доказуемы также и смешанные формулы. Они заключены в интервале между S⁶cq и Sk. Среди них возможны такие, для которых имеется процедура разрешимости. Такова, например, система Sr, задаваемая определением (6^ и предполагаются):

Dr, Формула х\—у доказуема в Sr в таких и только таких случаях: 1) если найдется последовательность формул х р и и \— у такая, что каждая из этих формул доказуема в SQcq или 5*; 2) если х\—у есть одна ^из аксиом Ак системы Sk.

Для Sr имеется простая процедура разрешимости. Для пункта 2 определения Dr она очевидна. Для пункта 1 она заключается в пересмотре всех возможных высказываний, образуемых из х или у путем переименования входящих в них связанных субъектов, или всевозможных пар таких высказываний, образуемых из я и r/.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложенная концепция логики нуждается в дальнейшей разработке с точки зрения отыскания подходящих формулировок проблемы полноты для ряда рассмотренных исчислений и модификаций их в зависимости от решения этих проблем, с точки зрения выяснения взаимоотношений этих исчислений, их возможных вариаций сужений и расширений. Интересно также выяснить, какие преимущества дает изложенная концепция в решении проблем логики и методологии науки. Пути подхода к последним частично намечены в работах [3, 4, 6, 7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Боброва Л. А. Полнота систем вырожденного следования и ква-, зиследования. «Неклассическая логика» (в печати).

2. Боброва Л. А. К проблеме логического следования.— «Вестник МГУ», № 2, 1966.

3. Зиновьев А. А. Основы логической теории научных знаний.

М., 1967.                                 .              ¹

4. Зиновьев А. А. Комплексная логика.—«Исследование логических систем». М., 1970.

5. Зиновьев А. И. Комплексная логика (формальное построение).— «Неклассическая логика» (в печати).

6. Зиновьев А. А. Классические и неклассические ситуации в науке.— «Вопросы философии», 1968, № 9.

7. Зиновьев А, А. О пространственной и временной терминологии.— «Вопросы философии», 1969, № 5.

8. Зиновьев А. А. Логическое следование.— «Проблемы логики и теории познания». М., 1968.

9. Ивин А. А. Коннексивная импликация.—«Исследование логи-' ческих систем». М.» 1970.

10. Сидоренко Е. А. Варианты систем логического следования.— «Неклассическая логика» (в печати).

11. Сидоренко Е. А. Независимость в системах логического следования.— «Неклассическая логика» (в печати).

12. Смирнов Г. А. Доказательство основных теорем теории сильного логического следования.— «Логическая семантика и модальная логика». М., 1967.

13. Смирнов Г. А. О видах логического следования.— «Исследование логических систем». М., 1970.

14. Федина А. М. О полноте систем логического следования.— «Неклассическая логика» (в печати).

15. Федина А, М. О силлогистике классов.— «Неклассическая логика» (в печати).

16. Щеголькова А. М. Некоторые теоремы теории кванторов.— «Неклассическая логика» (в печати).

ОГЛАВЛЕНИЕ

Александр Александрович Зиновьев

КОМПЛЕКСНАЯ ЛОГИКА

Утверждено К печати z Институтом философии АН СССР

Редактор Н. И. Кондаков Технический редактор &. Л. Кунина, Л. Н. Золотухина

Сдано в набор 26/1 1970. г. Подписано к печати 15/V 1-1970 г.

Формат 84X108732 Бумага № 2

Условн. печ. л. 10,71    Уч.-изд.-л. 8,1

Тираж 8800 экз. Т-10204 Тип. заказ № 228

Цена 49 коп.

Издательство «Наука».

Москва К-62, Подсосенский пер., 21

2-я типография издательства «Наука»

Москва Г-99, Шубинский пер.. 10.

49 коп.

ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА